เลขเฉพาะลึกลับ 127

Question

127 น่าจะเป็นจำนวนเฉพาะที่เร็วที่สุด / ใหญ่ที่สุด p เช่นนั้น $p^2$mod q มีกากคี่โดยที่ q คือจำนวนเฉพาะก่อนหน้าก่อนหน้า p ฉันได้ตรวจสอบถึง$10^6$และปรากฎว่ามีการตรวจสอบมากถึง 4 × 10 ^ 18 โดย Charles R Greathouse (?) 127 เป็นไพรม์ตัวสุดท้ายที่มีคุณสมบัตินี้หรือไม่? แต่ทำไม? มีเหตุผลสำหรับปรากฏการณ์นี้หรือไม่?

Answer 1

ปล่อย $q=p-d$, ที่ไหน $d$ คือช่องว่างเฉพาะระหว่าง $p$ และไพรม์ก่อนหน้า $q$. แล้ว$p^2-d^2 =(p-d)(p+d) \equiv 0 \bmod q$ดังนั้น $p^2 \equiv d^2 \bmod q$. ถ้า$d^2<q$จากนั้นสารตกค้างคือ $d^2$ซึ่งเป็นเพราะช่องว่างสำคัญแม้

วิธีเดียวที่จะได้กากแปลก ๆ คือการมีช่องว่างเฉพาะ $d$ ด้วย $d^2>q$. ดังนั้นเราจึงต้องการไพรม์$q$ เพื่อให้ไพรม์ถัดไปมีค่ามากกว่า $q+\sqrt q$.

โดยทั่วไปช่องว่างเฉพาะจะเพิ่มขึ้นตาม$\ln q$เพื่อให้มีขนาดใหญ่เป็นพิเศษ $\sqrt q$ ไม่น่าจะเป็นไปได้และฉันคิดว่ามันไม่น่าจะเป็นไปได้มากขึ้นสำหรับขนาดใหญ่ $q$.