Linkage และ Cohen-Macaulay-ness

Question

สมมติว่าฉันมีโครงการ lci ที่ลดลงโดยมีส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้สองส่วน: $X = Y \cup Z$. อยากบอกว่าถ้า$Y$ ก็คือ Cohen-Macaulay นั่นเอง $Z$ ก็เช่นกัน

ฉันคิดว่าสิ่งนี้มาจาก Eisenbund Theorem 21.23 (ซึ่งมีการพิมพ์ผิด: ครั้งแรก $J = (0:_A I)$ควรจะลบ) หรือจาก Peskine และ Szpiro, "Liaison des varétésalgébriques," Proposition 1.3 ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกัน

ฉันเข้าใจถูกต้องหรือไม่?

Answer 1

คำถามเป็นของท้องถิ่น ดังนั้นให้$R$ เป็นวงแหวนท้องถิ่นซึ่งก็คือ Gorenstein $I,J\subset R$ กำหนด $Y,Z$เช่นเดียวกับในคำถามของคุณ จากนั้นคุณมีลำดับที่แน่นอน$0\to I\to R\to R/I\to 0$ และเราสมมติว่า $R/I$คือ Cohen-Macaulay สังเกตว่าทั้งหมด$R,R/I,R/J$ มีมิติเดียวกัน $d$. การทำให้เป็นคู่หนึ่งได้รับ$0\to\omega_{R/I}\to R\to R/J\to 0$. ซึ่งหมายความว่าความลึกของ$R/J\geq d-1$. โดยไปที่ modulo ชุดทั่วไปของ$d-1$ องค์ประกอบในอุดมคติสูงสุดสามารถลดลงเป็นกรณีที่ $d=1$. ตอนนี้จับคู่อีกครั้งเพื่อรับ$0\to \operatorname{Hom}_R(R/J,R)\to R\to R/I\to\operatorname{Ext}^1_R(R/J,R)\to 0$. เป็นที่ชัดเจนโดยธรรมชาติว่าแผนที่$R\to R/I$อยู่บนและทำให้ ext เป็นศูนย์ นี่บอกว่าความลึกของ$R/J>0$ ซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องการ

Answer 2

ฉันไม่สามารถเข้าถึงข้อมูลอ้างอิงของคุณได้ แต่สำหรับฉันที่นี่ดูเหมือนว่าเป็นตัวอย่าง ใช้พื้นผิวสี่เหลี่ยมเรียบ$Q$ ใน $\mathbb P^3$เส้นโค้งเรียบ $C$ ใน $Q$ ของ bidegree $(1,3)$ และอีกเส้นโค้งเรียบ $D$ ใน $Q$ ของ bidegree $(3,1)$. แต่ละ$C,D$ เป็นควอร์ติกที่บิดเบี้ยวใน $\mathbb P^3$. ใช้$Y,\ Z$ และ $X$ ที่จะเป็นโคนของความสัมพันธ์มากกว่า $C,\ D$ และ $C\cup D$ตามลำดับ $C\cup D$ คือ $(2,4)$ สี่แยกที่สมบูรณ์ใน $\mathbb P^3$ดังนั้น $X$ คือ lci ยิ่งไปกว่านั้น $X=Y\cup Z$ในขณะที่ $Y,Z$ เป็นรูปกรวยมากกว่าควอร์ติกที่บิดเบี้ยวดังนั้นไม่ใช่ Cohen - Macaulay