Markov Chain มูลค่า จำกัด

Question

สมมติว่าฉันมีห่วงโซ่ Markov ดังต่อไปนี้ $X_0 > 0$ เป็นค่าคงที่คงที่และสำหรับทุกๆ $1 \leq n \in \mathbb{N}$ เรามี $$X_n = \begin{cases} 1.5X_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \\ rX_{n-1} & \text{with probability } 0.5 \end{cases} $$

ฉันต้องการหาค่าต่ำสุดของ $r$ เช่นว่าค่า จำกัด ของ $X_n$ มากกว่าหรือเท่ากับ $X_0$จำนวนเงินเดิม ฉันคิดว่าการทำให้สิ่งนี้เป็นมาร์ติงเกลนั้นเพียงพอแล้ว$r = 0.5$) แต่เมื่อฉันเรียกใช้การจำลองค่า จำกัด เป็นศูนย์ทุกครั้งเห็นได้ชัดว่านี่ไม่ถูกต้อง

ฉันกำลังมองหาค่า $r$ นั่นคือขีด จำกัด ที่แน่นอน $X_0$เนื่องจาก (ฉันคาดเดาว่า) อะไรที่ใหญ่กว่าจะนำไปสู่การ จำกัด ที่ไม่มีที่สิ้นสุดเกือบจะแน่นอน ปัญหานี้ไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน กรุณาช่วยถ้าคุณสามารถ

Answer 1

เราสามารถพูดได้มากมายเกี่ยวกับโมเดลทั่วไป $$X_n=rX_{n-1}:\text{probability }=p$$ $$X_n=\frac{3}{2}X_{n-1}:\text{probability }=1-p$$ปล่อย $K_{n}\sim\ \text{Binomial}(n,p)$ และใส่ $X_{n}:=r^{K_n}\Big(\frac{3}{2}\Big)^{n-K_n}x_{0}$. โดยสัญชาตญาณเราอาจนึกถึง$K_n$ เมื่อนับจำนวนครั้งที่เราคูณระยะต่อเนื่องด้วย $r$ในกระบวนการสุ่มนี้ กรณีเมื่อ$r>1$ เห็นได้ชัดดังนั้นสมมติว่า $r\in (0,1]$. เมื่อไหร่$n$ มีขนาดใหญ่เราสามารถใช้การประมาณปกติกับการแจกแจงทวินามและอนุมานสำหรับคงที่ $a>0$ ที่ $$P(X_n > a)=P\Bigg(K_n < \frac{\ln(a/x_0)+n\ln(2/3)}{\ln(2r/3)}\Bigg)\approx \phi\Bigg(\frac{\ln(a/x_0)}{\sqrt{np(1-p)}\ln(2r/3)}+\sqrt{n}\cdot \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}\Bigg)$$ ที่ไหน $\phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}dt$. ที่เราเห็น$$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n>a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}>0 \iff r>\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}} $$ $$\lim_{n\rightarrow \infty}P(X_n<a)=1 \iff \frac{\ln(2/3)-p\ln(2r/3)}{\sqrt{p(1-p)}\ln(2r/3)}<0 \iff r<\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$$ อย่างชัดเจน $r=\Big(\frac{2}{3}\Big)^{\frac{1-p}{p}}$คือเกณฑ์ของเราซึ่งแสดงในกราฟนี้ การ$p=1/2$ ผลตอบแทน $r=2/3$ ตามความจำเป็น.

Answer 2

คุณธรรมของเรื่องราวดูเหมือนว่ากระบวนการของคุณจะไม่มาบรรจบกัน คำอธิบายดังต่อไปนี้

เราพิจารณากระบวนการตามที่คุณเขียนด้วย $r = 2/3$.

ปล่อย $P_i$ เป็นตัวแปรสุ่มนั่นคือ $2/3$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$และ $3/2$ ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$. เราสนใจตัวแปรสุ่ม$Z_n = \prod_{i = 1}^n P_i$และเราต้องการหาวิธีที่เราจะได้รับ $Z_n \to 1$ (ในบางแง่) ตั้งแต่ $X_n = Z_n X_0$ ในสัญกรณ์ของคุณ

พิจารณา $\log(Z_n) = \sum_{i = 1}^n \log(P_i)$. จากนั้นแต่ละ$\log(P_i) = \pm ( \log(3) - \log(2))$. ดังนั้นหลังจากการปรับขนาดใหม่โดยหารด้วย$\log(3) - \log(2)$เราสามารถวิเคราะห์กระบวนการต่อไปนี้:

$Y_i = \pm 1$ด้วยความน่าจะเป็น $1/2$ แต่ละคนและเราต้องการที่จะเข้าใจ $S_n = \sum_{i = 0}^n Y_i$.

ดี, $S_n$ เป็นการเดินแบบสุ่มแบบคลาสสิกซึ่งจะไม่มาบรรจบกันแม้ในการแจกแจงเว้นแต่คุณจะขายใหม่

ดังนั้นถ้า $X_n$ มาบรรจบกันในความน่าจะเป็นหรือเกือบแน่นอนแล้ว $S_n = \frac{1}{\log(3) - \log(2)} \log( X_n)$ก็เช่นกันเนื่องจากฟังก์ชันที่เราใช้นั้นต่อเนื่องกันดังนั้นจึงใช้ทฤษฎีบทนี้ ไม่ว่าในกรณีใด ๆ เนื่องจากการกำเริบของการเดินแบบสุ่มอย่างไม่สิ้นสุด$\mathbb{Z}$, $X_n$ จะรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดหลาย ๆ ครั้ง

มุมมองนี้ยังอธิบายถึงสาเหตุ $2/3$ คือปัจจัยด้านความสมดุล - ปัจจัยอื่นใดและคุณอาจจะลอยไปสู่อนันต์หรืออินฟินิตี้เชิงลบในด้านการเดินแบบสุ่มอย่างง่าย