มิติไฟเบอร์
ปล่อย $f:X\rightarrow Y$ เป็น morphism ที่คาดเดาได้ของโครงร่างพีชคณิต (บนสนามปิดเชิงพีชคณิต $F$ ของลักษณะ $0$). ฉันคิดว่าในกรณีที่ดี ($X$ และ $Y$ ไม่สามารถลดได้) เรามีทุกอย่างสำหรับทุกๆ $y$ ใน $Y$ ขนาดของเส้นใย $f^{-1}(y)$ เป็นอย่างน้อย $\dim X-\dim Y$. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราทิ้งสมมติฐานที่ไม่สามารถวัดผลได้? เป็นตัวอย่างตอบโต้ของขอบเขตล่างนี้สำหรับ ddimension ของ$f^{-1}(y)$เหรอ?
คำตอบ
ใช่ถ้าคุณไม่ต้องการ $Y$ ที่จะไม่สามารถแก้ไขได้จากนั้นขอบเขตนี้สามารถละเมิดได้
ตัวอย่างที่ถูกที่สุดคือการใช้ $f: X \rightarrow Y$ คาดเดามิติสัมพันธ์ที่คุณชอบมากกว่า $0$, ปล่อย $X'$ และ $Y'$ เป็นสหภาพที่ไม่ปะติดปะต่อกันของแต่ละคนด้วยจุดและกำหนด $f'$ เท่ากับ $f$ บน $X$ และเพื่อแมปจุดใหม่บน $X$ ไปยังจุดใหม่ $Y$.
หากคุณต้องการความเชื่อมโยงคุณสามารถทำสิ่งที่คล้ายกันได้ตอนนี้การแนบสายพูดตรงกันข้ามกับ $X$ ในบางจุด $x$ และอีกบรรทัดถึง $Y$ ที่ $f(x)$และการขยาย $f$ โดยการแมปเส้นกับเส้นแบบ isomorphically
ด้วยการเล่นซออีกเล็กน้อยเราสามารถปรุงตัวอย่างได้เช่นกัน $Y$ ไม่สามารถลดได้ดังต่อไปนี้
ปล่อย $Y=\mathbf A^1$, ปล่อย $Z \subset \mathbf A^2$ ถูกกำหนดโดย $xy=1$และปล่อยให้ $q:Z \rightarrow Y$เป็นเพียงการคาดคะเนว่าปัจจัยแรก แผนที่นี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมบนเซตเปิด$Y \setminus \{0\}$.
ตอนนี้ให้ $W=Z \times \mathbf A^1 \subset \mathbf A^3$. จากนั้นแผนที่ฉาย$W \rightarrow Y$ มีเส้นใย 1 มิติในทุกจุด $y \neq 0$ในขณะที่ไฟเบอร์มากกว่า $0$ มันว่างเปล่า.
สุดท้ายให้ $L$ เป็นแกน $\{(t,0,0) \mid t \in k \} \subset \mathbf A^3$และปล่อยให้ $X=W \cup L \subset \mathbf A^3$. จากนั้นการฉายภาพ$X \rightarrow Y$ เป็นสิ่งที่คาดเดาได้ด้วยเส้นใย 1 มิติในทุกๆ $y \neq 0$และเส้นใย 0 มิติทับ $0 \in Y$.