My Proof for the Inverse Function Theorem

Question

นี่คือสิ่งที่ฉันต้องการพิสูจน์:

ปล่อย $f: (a,b) \to \mathbb{R}$ เป็นการฉีดอย่างต่อเนื่องให้ $y_0 \in f[(a,b)]$ และปล่อยให้ $f^{-1}: f[(a,b)] \to (a,b)$เป็นผกผัน สมมติว่า$f$ มีความแตกต่างที่ $x_0 = f^{-1}(y_0)$ ดังนั้น $f'(x_0) \neq 0$. จากนั้น$f^{-1}$ มีความแตกต่างที่ $y_0$ และ:

$$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$$

---

ความพยายามในการพิสูจน์:

เรารู้ว่า $f[(a,b)]$ เป็นช่วงเวลาตั้งแต่ $f$ เป็นไปอย่างต่อเนื่องและนั่น $f^{-1}$เป็นการฉีดอย่างต่อเนื่อง สมมติว่าไม่มีการสูญเสียทั่วไป$f$เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด จากนั้น$f^{-1}$เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด จากนั้นเราได้รับแจ้งว่ามีขีด จำกัด ต่อไปนี้:

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

$$\implies f'(x_0) = \lim_{x \to f^{-1}(y_0)} \frac{f(x)-y_0}{x-f^{-1}(y_0)}$$

ปล่อย $y = f(x)$. ตั้งแต่$f: (a,b) \to f[(a,b)]$ เป็นอคติ $f^{-1}(y) = x$. ตอนนี้เรามี:

$$f'(x_0) = \lim_{x \to f^{-1}(y_0)} \frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}$$

ข้างต้นเทียบเท่ากับเพรดิเคตต่อไปนี้:

$$\forall \epsilon > 0: \exists \delta > 0: x \in (f^{-1}(y_0)-\delta,f^{-1}(y_0)+\delta) \setminus \{f^{-1}(y_0)\} \implies \left| \frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)} - f'(x_0) \right| < \epsilon$$

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดโดยมีดังต่อไปนี้:

$$x \in ((f^{-1}(y_0)-\delta,f^{-1}(y_0)+\delta) \setminus \{f^{-1}(y_0)\}$$

$$\iff y = f(x) \in (f(f^{-1}(y_0)-\delta),f(f^{-1}(y_0)+\delta)) \setminus \{y_0 \}$$

ซึ่งหมายความว่า $y \in (y_0-\delta',y_0+\delta')$ สำหรับบางคน $\delta' > 0$. ดังนั้นในความเป็นจริงเราได้แสดงให้เห็นว่าคำสั่งต่อไปนี้ถือ:

$$\forall \epsilon > 0: \exists \delta' > 0: 0 < |y-y_0| < \delta' \implies \left| \frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)} - f'(x_0) \right| < \epsilon$$

อย่างไรก็ตามนั่นหมายความว่า:

$$\lim_{y \to y_0} \frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)} = f'(x_0) \neq 0$$

ซึ่งมีความหมายเพิ่มเติมว่า:

$$\frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{\lim_{y \to y_0} \frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}} = \lim_{y \to y_0} \frac{1}{\frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}} = \lim_{y \to y_0} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} = (f^{-1})'(y_0)$$

ตามที่ต้องการ $\Box$

การพิสูจน์ข้างต้นใช้ได้ผลหรือไม่? ถ้าไม่เป็นเช่นนั้นทำไม? จะแก้ไขได้อย่างไร?

Answer 1

หลักฐานของคุณใช้ได้ดีในความคิดของฉันมันขาดรายละเอียดสองอย่าง:

1. คุณสามารถเพิ่มข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสาเหตุ $f[(a,b)]$ เป็นช่วงเวลาและทำไม $f$ต้องเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิคอย่างเคร่งครัด ข้อเท็จจริงทั้งสองนี้เป็นผลของทฤษฎีบทคุณค่าระดับกลาง

2. คุณควรระมัดระวังมากขึ้นในการเดินทางด้วย $\delta'$. แม้ว่าข้อสรุปจะเป็นความจริงข้อโต้แย้งนั้นผิด คุณพูดแบบนั้น "$y\in(f(f^{-1}(y_0)-\delta),f(f^{-1}(y_0)+\delta))\setminus \{y_0\}$ บอกเป็นนัยว่า $y\in (y_0-\delta', y_0 + \delta')$ สำหรับบางคน $\delta'>0$"ซึ่งไม่ผิด แต่สังเกตว่าในตอนต่อไปเมื่อคุณสรุปอย่างนั้น $$\forall \epsilon > 0: \exists \delta' > 0: 0 < |y-y_0| < \delta' \implies \left| \frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)} - f'(x_0) \right| < \epsilon, $$ คุณกำลังใช้ความหมายย้อนกลับซึ่งก็คือ "$y\in (y_0-\delta', y_0 + \delta')\setminus \{y_0\}$ หมายถึง $y\in(f(f^{-1}(y_0)-\delta),f(f^{-1}(y_0)+\delta))\setminus \{y_0\}$"ไม่ใช่ที่คุณระบุ

แน่นอนว่าสิ่งนี้สามารถแก้ไขได้โดย: $$ x \in (f^{-1}(y_0)-\delta,f^{-1}(y_0)+\delta) \setminus \{f^{-1}(y_0)\} \iff y\in(f(f^{-1}(y_0)-\delta),f(f^{-1}(y_0)+\delta))\setminus \{y_0\}, $$ และตั้งแต่นั้นมา $f(f^{-1}(y_0)-\delta)< y_0<f(f^{-1}(y_0)+\delta)$ มีอยู่ $\delta'>0$ ดังนั้น $$ y\in (y_0-\delta', y_0 + \delta')\setminus \{y_0\}\ \ \Rightarrow\ \ y\in(f(f^{-1}(y_0)-\delta),f(f^{-1}(y_0)+\delta))\setminus \{y_0\}. $$

Answer 2

การทำสิ่งต่อไปนี้อาจง่ายกว่า:

ปล่อย $g = f^{-1}$, เรามี $g(f(x)) = x$. สมมติ$t_n \to t=f(x_0)$แล้ว (สำหรับขนาดใหญ่พอ $n$) เราสามารถหาได้ $x_n$ ดังนั้น $t_n = f(x_n)$. ยิ่งไปกว่านั้นเรามี$x_n \to x_0$. แล้ว${g(t_n)-g(t) \over t_n-t} = {x_n -x_0 \over f(x_n)-f(x_0)} \to {1 \over f'(x_0)}$.