ODE ในตัวแปร $r$

Question

ฉันแน่ใจว่านี่เป็นคำถามง่ายๆ แต่ฉันต้องการความช่วยเหลือ

ในขณะที่พยายามแก้ PDE โดยใช้การแยกตัวแปรฉันเจอ ODE

ฉันต้องการแก้ ODE ต่อไปนี้: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

วิธีแก้คือ $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

จะตรวจสอบเมื่อคุณเสียบปลั๊ก แต่เราจะแก้ปัญหาได้อย่างไร?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ เขียนใหม่เป็น: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ ตอนนี้แก้เป็น: $$y''+\lambda^2y=0$$ ที่ไหน $y=rR(r)$. มันเป็นเพียงสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สองที่แก้ง่าย