Paradigm Shifts in Mathematics [ปิด]
ในฟิสิกส์มีการปฏิวัติหรือการเปลี่ยนแปลงกระบวนทัศน์ที่ชัดเจนหลายครั้งซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเปลี่ยนสนาม ตัวอย่างหนึ่งคือการปฏิวัติโคเปอร์นิกันและการเปลี่ยนจากมุมมองแบบปโตเลเมอิกไปสู่มุมมองแบบเฮลิโอเซนตริก
เนื่องจากคณิตศาสตร์ทำงานจากสัจพจน์ฉันคิดว่าไม่น่าเป็นไปได้ที่สมมติฐานที่ไม่ถูกต้องจะเล็ดลอดเข้าสู่หลักการของสนาม นอกจากนี้ในระหว่างการศึกษาคณิตศาสตร์ของฉัน (ในฐานะนักฟิสิกส์) ฉันมีความรู้สึกว่าคณิตศาสตร์มีการพัฒนาอย่างต่อเนื่องตั้งแต่กรีกจนถึงทุกวันนี้โดยมักจะเพิ่มความรู้ใหม่ ๆ
ดังนั้นคำถามของฉันคือว่าสิ่งนี้ผิดหรือไม่และมีการเปลี่ยนกระบวนทัศน์บางอย่างหรือการตีความซ้ำอย่างรุนแรงของผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หรือเป็นการเติบโตของความรู้อย่างต่อเนื่อง?
ภาคผนวก
มีคำถามนี้อยู่แล้วซึ่งกำลังถามการเปลี่ยนแปลงทางปรัชญาในคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามฉันคิดว่ามันแตกต่างจากสิ่งนี้เนื่องจากฉันพยายามทำความเข้าใจว่าเนื้อหาของความรู้ทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงหรือไม่ต่อเนื่องในบางจุด
คำตอบ
ฉันคิดว่าเราอาจแยกความแตกต่างของ "การปฏิวัติ" ซึ่งฝังศพคนตาย (เพื่อพูด) จาก "การเปลี่ยนแปลงกระบวนทัศน์" (ที่เกมดำเนินไปและงานที่ทำในรูปแบบเก่าจะไม่ถูกลบล้างออกไป แต่ดูไม่น่าสนใจหรือสำคัญที่ต้องติดตามอีกต่อไป)
ฉันคิดว่าครั้งหนึ่งเคยคิดว่าการวิเคราะห์ซ้ำในศตวรรษที่ 19 โดยไม่มี infinitesimals เป็นการปฏิวัติที่แทนที่ความเท็จ / ความไม่เชื่อมโยงกัน (ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมการวิเคราะห์ที่ไม่ได้มาตรฐานที่หลากหลายซึ่งช่วยฟื้นฟูสัตว์เล็ก ๆ น้อย ๆ - แบบนี้! และอีกหลายปีต่อมา) การพัฒนาทฤษฎีเซตเป็นการปฏิวัติโดยแสดงให้เห็นว่ามีความเป็นไปได้ที่จะมีทฤษฎีที่สอดคล้องกัน (ของ "ความไม่สมบูรณ์") ซึ่งก่อนหน้านี้เคยคิดว่ามี แต่ความเท็จ / ความไม่เชื่อมโยงกัน
แต่กรณีเหล่านี้เป็นข้อยกเว้นอย่างแน่นอน (ในทางคณิตศาสตร์ในอัตราใดก็ได้) ไม่จำเป็นที่จะต้องปรับเปลี่ยนกระบวนทัศน์เกี่ยวข้องกับสมมติว่าสิ่งที่ได้ไปก่อนที่จะเป็นที่ไม่ถูกต้อง แต่มีการนำแนวคิดใหม่ ๆ มาใช้ปัญหาใหม่ ๆ สามารถยกระดับได้แนวทางใหม่ ๆ ถูกมองว่าน่าสนใจเป็นพิเศษ / คุ้มค่า ตัวอย่างใหม่ถือได้ว่าเป็นกระบวนทัศน์ที่จะเอาอย่างและเป็นการกำหนดมาตรฐานที่ใช้ตัดสินการแก้ปัญหา การพัฒนาพีชคณิตนามธรรมในศตวรรษที่แล้วดูเหมือนจะเป็นตัวอย่างกระบวนทัศน์ของการเปลี่ยนกระบวนทัศน์ประเภทนี้ ... !
คณิตศาสตร์ไม่ใช่วินัยตามความเป็นจริง วิธีหนึ่งที่จะเปิดช่องใหม่โดยทั่วไปโดยการเปิดเผยตัวอย่างที่มีบางอย่างเหมือนกันและดูเหมือนว่าจะชี้ไปที่ทฤษฎีใหม่
ยกตัวอย่างเช่น homology นี่คือสัจพจน์โดย Eilenberg & Steenrod แต่ไม่มีคนค้นพบตัวเลข Betti ไม่ได้ค้นพบความคล้ายคลึงกันของ Poincare และ Noether ไม่ได้ชี้ให้เห็นว่าตัวเลข Betti มีความคิดที่ดีกว่าว่าเป็นกลุ่มจะไม่มีอะไรที่จะทำให้เป็นจริงได้
ฮิลเบิร์ตกล่าวว่าเรขาคณิตและจินตนาการของเขาไม่มากก็น้อยเหมือนกันซึ่งเขาเรียนการคิดเชิงนิรนัยนั่นคือความคิดที่มาจากรูปแบบเชิงสัจพจน์ของลำดับที่ต่ำกว่าการคิดแบบอุปนัยซึ่งเขาจัดว่าเป็นรูปแบบที่แท้จริงของการคิดทางวิทยาศาสตร์
โดยส่วนตัวแล้วการปรับเปลี่ยนกระบวนทัศน์ที่สำคัญสำหรับฉันคือการนำความคิดเชิงทฤษฎีมาใช้ในคณิตศาสตร์และยังแสดงให้เห็นถึงความต่อเนื่องของความคิดด้วย ตัวอย่างเช่นสามเหลี่ยมถูกค้นพบในช่วงต้นโดยการเพิ่มทิศทางไปที่ด้านข้างเรามีกฎของการบวกเวกเตอร์จากนั้นโดยปล่อยให้ด้านโค้งเราสามารถคิดว่ามันเป็นลูกศรตามหมวดหมู่ สิ่งนี้ยังเผยให้เห็น: เราสามารถคิดว่าพวกมันเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ยุคลิดและในช่องว่างที่มีความยาวระหว่างจุดสองจุดใด ๆ จะมี geodesic ที่ไม่ซ้ำกันเราสามารถยก geodesics ที่กำกับไว้เป็นเวกเตอร์ดังกล่าวได้