ปัญหา 1.2.14 (b) ใน Symbolic Dynamics and Coding

Question

ระบุตัวอักษร $\mathcal{A}$ ขนาด 3 ให้ $X=\{x\in\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}: x_{i+n^2}\neq x_{i} \forall i\in\mathbb{Z} \forall n\in\mathbb{N}\}$. ที่นี่$x_i$ เป็นชวเลขสำหรับ $x(i)$. แสดงว่า$X=\emptyset$ ฉันพยายามใช้พีทาโกรัสสามเท่า $a^2+b^2=c^2$ และสรุปว่า $x_{a^2}=x_{b^2}$ หากเป็นเช่นนั้น $x$มีอยู่ ตอนนี้สิ่งที่ฉันต้องทำคือพิสูจน์$x_{a^2}\neq x_{b^2}$ และฉันจะมีการพิสูจน์โดยความขัดแย้ง

Answer 1

(เติมช่องว่างตามต้องการหากคุณติดขัดให้เขียนกระบวนการทำงานและความคิดของคุณเพื่อแสดงว่าคุณอยู่ที่ใด

สมมติว่ามีลำดับดังกล่าวอยู่ ปล่อย$\mathcal{A} = \{R, B, G \}$.

1. WLOG ให้ $ x_1 = R$.
2. เราจะเน้นไปที่จำนวนของแบบฟอร์ม $ x_{1 + n^2}$และติดป้ายกำกับ $y_n$. อย่างชัดเจน$y_n = B$ หรือ $G$.
3. การอ้างสิทธิ์: ถ้า $ a^2 + b^2 = c^2$แล้ว $ y_a, y_b$ มีสีเดียวกันซึ่งแตกต่างจาก $y_c$.
4. WLOG ให้ $ y_3 = y_4 = B$ ดังนั้น $y_5 = G$.
5. ดังนั้น $y_5 = y_{12} = G, y_{13} = B$.
6. ดังนั้น $y_{12}=y_{16} = G, y_{20} = B$.
7. ใช้พีทาโกรัสสามเท่า (และทวีคูณ) เพิ่มคำศัพท์ที่รู้จักไปเรื่อย ๆ จนกว่าคุณจะเห็นความขัดแย้ง (ฉันรู้สึกขัดแย้งกับ$y_{16}$อย่างที่ควรจะเป็น $B$. แน่นอนคุณอาจไปถึงความขัดแย้งอื่น ๆ )

$ y_{12} = y_{9} = G, y_{15} = B$
$y_{15} = y_8 = B, y_{17} = G$
$y_8 = y_6 = B, y_{10} = G$
$y_{10} = y_{24} = G, y_{26} = B $
$y_{24} = y_{18} = G, y_{30} = B $
$y_{30} = y_{16} = B, y_{34} = G $