แผนที่ระหว่างวัตถุ colimit
ปล่อย $\lbrace A_i \rbrace_{i\in I}$ และ $\lbrace B_j \rbrace_{j\in J}$ เป็นสองแผนภาพในหมวดหมู่ $\mathcal{C}$. ปล่อย$A=\text{colim}_{i\in I} A_i$ และ $B= \text{colim}_{j\in J} B_j$. ให้สองแผนที่$f,g: A\rightarrow B$โดยสมมติว่าตัวเทียบเคียง $C$ มีอยู่สามารถ $C$ จะนำเสนอในรูปแบบของแผนภาพที่ประกอบด้วยวัตถุ $A_i$ และ $B_j$เหรอ?
คำตอบ
เป็นการคาดเดาที่น่าดึงดูด แต่ผิดพลาด! ปล่อยให้$A_i$ และ $B_i$ เป็นสำเนาของ $\mathbb{Z}$ ในหมวดหมู่ $\text{Ab}$ของกลุ่ม abelian และปล่อยให้ทั้งสอง colimits เป็นผลิตภัณฑ์ร่วมกัน จากนั้นกลุ่ม abelian ทุกกลุ่มจะเกิดขึ้นเป็นตัวประสานของคู่ของแผนที่ระหว่าง coproducts (สิ่งนี้บอกตามตรงว่าทุกกลุ่ม abelian มีการนำเสนอ) แต่ไม่ใช่ทุกกลุ่ม abelian จะเกิดขึ้นจากการคัดลอกของสำเนา$\mathbb{Z}$. ฉันถามคำถามนี้ในMathOverflowเมื่อสักครู่ที่ผ่านมาและได้รับคำตอบเชิงลบที่ให้ข้อมูลมาก
ขอฉันเปลี่ยนสัญกรณ์ ปล่อย$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ และ $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ เป็นคนตลกให้ $\mathcal{D}$ เป็นหมวดหมู่ย่อยทั้งหมดของ $\mathcal{C}$ ทอดโดยภาพของ $X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$ และ $Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$และปล่อยให้ $\bar{X} = \varinjlim_\mathcal{I} h_X$ และ $\bar{Y} = \varinjlim_\mathcal{J} h_Y$ ใน $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ที่เรากำหนด $h_T (S) = \mathcal{C} (S, T)$. จากนั้น$$\textstyle [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}](\bar{X}, \bar{Y}) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y)$$ ดังนั้น morphism $f : \bar{X} \to \bar{Y}$ สามารถย่อยสลายเป็นตระกูล morphisms $X (i) \to Y (j_i)$ จัดทำดัชนีโดย $i \in \operatorname{ob} \mathcal{I}$โมดูโลความสัมพันธ์ที่เทียบเท่าบางอย่าง ในทางกลับกันแม้ว่า$X$ และ $Y$ มี colimits ใน $\mathcal{C}$ที่ดีที่สุดเราสามารถพูดได้ $$\textstyle \mathcal{C} \left( \varinjlim_\mathcal{I} X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ และแม้ว่าจะมีแผนที่เปรียบเทียบแบบบัญญัติ $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y) \to \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$ โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่การคาดคะเน
ถ้า - นี่คือถ้าใหญ่ - คู่ขนาน$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ ใน $\mathcal{C}$ ที่คุณสนใจสามารถยกขึ้นได้จากแผนที่เปรียบเทียบนี้จากนั้นโคควอลิเซอร์ของพวกเขาคือโคลิมิตของแผนภาพที่สร้าง $X$ และ $Y$.
อันที่จริงให้ $f_0, f_1 : \bar{X} \to \bar{Y}$ เป็น morphisms ใน $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. จากนั้นเราอาจสร้างตัวปรับสมดุลของมัน$\bar{Z}$ ใน $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. มีแผนภาพบัญญัติ$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ ซึ่ง colimit ใน $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ คือ $\bar{Z}$. อย่างชัดเจน$\textbf{El} (\bar{Z})$ เป็นหมวดหมู่ต่อไปนี้:
- วัตถุใน $\textbf{El} (\bar{Z})$ เป็นคู่ $(D, z)$ ที่ไหน $D$ เป็นวัตถุใน $\mathcal{D}$ และ $z$ เป็นองค์ประกอบของ $\bar{Z} (C)$.
- สัณฐาน $(D, z) \to (D', z')$ ใน $\mathcal{K}$ คือสัณฐาน $g : D \to D'$ ใน $\mathcal{D}$ ดังนั้น $z' \cdot g = z$.
- องค์ประกอบนั้นสืบทอดมาจาก $\mathcal{D}$.
มีการฉายภาพที่เห็นได้ชัด $R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$ และเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบสิ่งนั้น $\bar{Z} \cong \varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} h_R$. ฉันอ้างว่า:$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ เป็นตัวเทียบเคียงของ $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ ใน $\mathcal{C}$ในแง่ที่ชัดเจนว่า $\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$ มีอยู่ใน $\mathcal{C}$ ถ้าและเฉพาะในกรณีที่ coequaliser มีอยู่ใน $\mathcal{C}$ และเป็นไอโซมอร์ฟิก
ปล่อย $\bar{\mathcal{D}}$ เป็นหมวดหมู่ย่อยทั้งหมดของ $\mathcal{C}$ ทอดโดยวัตถุ $C$ ใน $\mathcal{C}$ เช่นนั้นสำหรับทุกวัตถุ $T$ ใน $\mathcal{C}$แผนที่บัญญัติ (เกิดจากข้อ จำกัด ของการฝัง Yoneda) $$\mathcal{C} (C, T) \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] (h_C, h_T)$$เป็นอคติ คำศัพท์ Yoneda ตามปกติบอกเรา$\mathcal{D} \subseteq \bar{\mathcal{D}}$แต่สำหรับแผนภาพใด ๆ $Z : \mathcal{K} \to \bar{\mathcal{D}}$, $$\textstyle \varprojlim_\mathcal{K} \mathcal{C} \left( Z, T \right) \cong \varprojlim_\mathcal{K} [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( h_Z, h_T \right) \cong [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( \varinjlim_\mathcal{K} h_Z, h_T \right)$$ ตามธรรมชาติใน $T$ดังนั้นถ้า $\varinjlim_\mathcal{K} Z$ มีอยู่ใน $\mathcal{C}$ จากนั้นก็อยู่ใน $\bar{\mathcal{D}}$ - ในระยะสั้น $\bar{\mathcal{D}}$ ถูกปิดภายใต้ colimits ที่มีอยู่ใน $\mathcal{C}$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$\varinjlim_\mathcal{I} X$ และ $\varinjlim_\mathcal{J} Y$ อยู่ใน $\bar{\mathcal{D}}$และถ้าคู่ขนาน $\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ ใน $\mathcal{C}$ มี coequaliser มากกว่า coequaliser ด้วย $\bar{\mathcal{D}}$. โดยพื้นฐานแล้วคำจำกัดความของ$\bar{\mathcal{D}}$ทำให้มั่นใจได้ว่าสิ่งที่สามารถพิสูจน์ได้เกี่ยวกับcolimits ที่ทำซ้ำใน$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ ก็เป็นจริงเช่นกัน $\mathcal{C}$ตราบใดที่สามารถเข้าใจ colimits ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องได้ $\bar{\mathcal{D}}$. ดังนั้นถ้าคู่ขนาน$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$ ใน $\mathcal{C}$ สามารถยกขึ้นเป็นคู่ขนานได้ $\bar{X} \rightrightarrows \bar{Y}$ ใน $[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$แล้วตัวปรับสมดุลใน $\mathcal{C}$ สามารถระบุได้ด้วย colimit ใน $\mathcal{C}$ ของแผนภาพใน $\mathcal{D}$.
อาจเป็นเรื่องที่น่าสังเกตว่าการเป็นตัวแทนของ Yoneda $\bar{\mathcal{D}} \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$ อาจไม่ซื่อสัตย์อย่างเต็มที่หรือรักษา colimits ... แต่นี่เป็นเพียงการเปลี่ยนคำเตือนในย่อหน้าแรก