พิสูจน์ว่า $Nullity(AB)=Nullity(B)$ และ $Range(AB)=Range(B)$

Question

ให้เป็นสนาม $K=\mathbb{R}$ หรือ $\mathbb{C}$. $A \in K^{m\times n}$ เป็นเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเชิงเส้น $A: K^n\rightarrow K^m$, ที่ไหน $m,n \in Z_{+}$. เรากำหนด:

\begin{align*} \operatorname{nullity} (A)=\dim (\ker A)&= \dim\left(\left \{ x \in K^n : Ax=0\right \}\right), \left \{ x \in K^n : Ax=0\right \} \subset K^n \\ \operatorname{range} (A)=\dim (\operatorname{Im}(A))&= \dim\left \{ y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \},\left \{\forall y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \} \subset K^m \end{align*}

1. ถ้า $A\in K^{n\times n}$ เป็นเมทริกซ์กลับด้านพิสูจน์ว่า $AB$ มีค่า nulity และ range เท่ากับ B สำหรับเมทริกซ์ใด ๆ $B \in K^{n\times m}$
2. ถ้า $m=n$ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่างค่าลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ $AB$ และ $BA$.

สิ่งที่ฉันทำเพื่อ1คือ:

\begin{align*} ABx=0 \iff& Bx=0 \text{ since, } A \text{ is invertible}\\ \iff& x\in \operatorname{ker}(B) \ \ \forall x \in \operatorname{ker}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{nullity}(AB)=&\dim(\operatorname{ker} (AB))=\dim(ker(B)) =\operatorname{nullity}(B) \end{align*}

อีกด้านหนึ่งเรามีสิ่งนั้น

\begin{align*} \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(AB)+\operatorname{range}(AB)\\ \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(B)+\operatorname{range}(B) \end{align*}

และนอกจากนี้ยังมี, \begin{align*} \dim(AB)=\dim(B) \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \operatorname{nullity}(AB)=\operatorname{nullity}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{range}(AB)&=\operatorname{range}(B) \end{align*}

ฉันถูกไหม? หรือฉันทำอะไรผิด?

และสำหรับ2ฉันไม่แน่ใจว่าความสัมพันธ์ระหว่างค่าลักษณะเฉพาะกับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ AB และ BA คืออะไร

ฉันขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือของคุณ!

Answer 1

อาร์กิวเมนต์สำหรับ (1) ถูกต้อง (ส่วนใหญ่: ลบ $b$ ใน $bBx=0$และแทนที่ $\dim(B)$ โดย $\dim(K^m)$.)

สำหรับ (2) สมมติว่า $ABv=\lambda v$, ($v\ne0$). แล้ว$$BA(Bv)=B(ABv)=\lambda Bv$$ ดังนั้น $Bv$ เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ $BA$ ด้วยค่าเฉพาะ $\lambda$, เว้นแต่ $Bv=0$ (กล่าวคือ $\lambda=0$).
ในทางกลับกันถ้า$BAw=\mu w$ แล้ว $Aw$ เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ $AB$, เว้นแต่ $Aw=0$.

สรุป: ค่าลักษณะเฉพาะของ $AB$ เหมือนกับของ $BA$ยกเว้นค่าเฉพาะที่เป็นศูนย์ (ไม่สามารถพูดได้ในกรณีนั้น)