ปริมาณนี้ชื่ออะไร?
ให้สองเวกเตอร์ $X$ และ $Y$ (ความยาว $n$, สุ่มตัวอย่างจากตัวแปรสุ่ม), ชื่อของปริมาณต่อไปนี้คืออะไร:
$$ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2 $$
ฉัน 'คิด' กับสูตรเพื่อหาค่าความแปรปรวนระหว่างเวกเตอร์สองตัวและฉันเดาว่าสูตรนั้นเป็นเรื่องไร้สาระหรือถ้าไม่ - เนื่องจากความไม่สำคัญ - เป็นปริมาณที่รู้จักกันดี ฉันรู้ว่ามันไม่ใช่ความแปรปรวนร่วมระหว่าง$X$ และ $Y$แต่มันคืออะไร?
แก้ไข: ชัดเจนในบริบทของการคาดการณ์ด้วยข้อมูลเช่น
$X$ และการทำนาย
$Y$สิ่งนี้จะสอดคล้องกับข้อผิดพลาดกำลังสองค่าเฉลี่ย (ยกเว้นค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานซึ่งจะเป็น
$\frac{1}{n}$). ฉันสงสัยว่ามันมีชื่อ (และความหมาย) ในบริบทของสถิติหรือไม่
ดูความคิดเห็นโดย Stephan Kolassa
คำตอบ
นี่คือการวัดการกระจายกำลังสองระหว่างค่าสองชุด แต่ไม่ใช่ระหว่างค่าที่จับคู่ สงสัยมันมีชื่อ
คุณไม่จำเป็นต้องมีหมายเลขเดียวกัน $x$ และ $y$ ค่าและการใช้ $\frac1n$ การคำนวณความแปรปรวนคุณสามารถพูดได้ว่า:
$$\frac{1}{mn}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n(x_i-y_j)^2\qquad \\\qquad\qquad= (\bar x - \bar y)^2 + \widehat{\text{Var}}(x) +\widehat{\text{Var}}(y)$$
ดังนั้นการรวมกันของระยะห่างกำลังสองระหว่างจุดศูนย์กลางของทั้งสองเซตบวกกับการกระจายกำลังสองของแต่ละเซต