Quaternionic และ octonionic analogues ของปัญหา Basel
ฉันถามคำถามนี้ใน MSEเมื่อประมาณ 3 เดือนที่แล้ว แต่ฉันยังไม่ได้รับคำตอบดังนั้นตามข้อเสนอแนะในความคิดเห็นฉันจึงตัดสินใจโพสต์ที่นี่
เป็นข้อเท็จจริงที่ทราบกันดีว่า
$$\sum_{0\neq n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{n^k} = r_k (2\pi)^k$$
สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ $k>1$, ที่ไหน $r_k$เป็นตัวเลขที่มีเหตุผลซึ่งสามารถระบุได้อย่างชัดเจนในรูปแบบของตัวเลขเบอร์นูลลี ตัวอย่างเช่นสำหรับ$k=2$ ผลรวมเท่ากับ $\pi^2/3$(นี่คือปัญหาบาเซิลเป็นหลัก) และสำหรับ$k=4$ มันเท่ากับ $\pi^4/45$. โปรดทราบว่าสำหรับคี่$k$ ผลรวมหายไป
ทฤษฎีของเส้นโค้งวงรีที่มีการคูณที่ซับซ้อนช่วยให้เราสามารถขยายผลลัพธ์นี้ไปยังระบบของจำนวนเต็มที่ซับซ้อนเช่นจำนวนเต็มเกาส์หรือโดยทั่วไปแล้ววงแหวนของจำนวนเต็มในเขตข้อมูลจำนวนกำลังสองเชิงจินตภาพของคลาสหมายเลข 1 ได้แก่ สำหรับ$k>2$ เรามี
$$\sum_{0\neq \lambda\in\mathbb{Z[\omega]}} \frac{1}{\lambda^k} = r_k \varpi^k,$$
ที่ไหนอีกแล้ว $r_k$ คือค่าคงที่ที่เป็นเหตุเป็นผลและ $\varpi \in \mathbb{R}$ ("ซับซ้อน $2\pi$") ขึ้นอยู่กับวงแหวนเท่านั้น $\mathcal{O}=\mathbb{Z[\omega]}$และเป็นผลคูณทางพีชคณิตของช่วงเวลาที่เรียกว่าChowla – Selbergซึ่งกำหนดโดยผลคูณของพลังของปัจจัยแกมม่าบางอย่าง (โปรดทราบว่าผลรวมเป็นจำนวนจริงเสมอเนื่องจากเป็นค่าคงที่ภายใต้การผันคำกริยา) ตัวอย่างเช่นสำหรับEisenstein ($\omega = (1+\sqrt{3} i)/2$), Gaussian ($\omega = i$) และไคลเนียน ($\omega = (1+\sqrt{7} i)/2$) จำนวนเต็มเรามีตามลำดับ
$$\varpi_3 = 3^{-1/4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)}\right)^{3/2}, \quad \varpi_4 = 4^{-1/4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\right), \quad \varpi_7 = 7^{-1/4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{\Gamma(1/7)\Gamma(2/7)\Gamma(4/7)}{\Gamma(3/7)\Gamma(5/7)\Gamma(6/7)}\right)^{1/2}.$$
สำหรับหมายเลขคลาสที่สูงขึ้นจะมีสูตรที่คล้ายกัน แต่ในกรณีนั้น $r_k$โดยทั่วไปจะไม่เป็นเหตุเป็นผล แต่เป็นพีชคณิต การแสดงออกที่ดีของผลนี้สามารถพบได้ในมาตรา 6.3 ของบันทึกเหล่านี้
คำถามของฉันคือยังคงเป็นจริงสำหรับระบบตัวเลขไฮเปอร์คอมเพล็กซ์เช่นจำนวนเต็ม Hurwitzหรือจำนวนเต็มอ็อกโทนิออน กำหนด$$S_k[\mathcal{O}] = \sum_{0\neq \lambda\in\mathcal{O}} \frac{1}{\lambda^k}$$ สำหรับ $k>\operatorname{dim} \mathcal{O}$, ที่ไหน $\mathcal{O}$ ตอนนี้เป็นคำสั่งในพีชคณิตควอเทอร์เนียน / ฐานแปดที่มีเหตุผลโดยสิ้นเชิงของคลาสหมายเลข 1 $k$ ดังนั้นผลรวมจึงมาบรรจบกันอย่างแน่นอน
คำถามย่อย 1:เรามี$S_k[\mathcal{O}] = r_k \varpi^k$ สำหรับลำดับเหตุผลบางอย่าง $r_k$ และจำนวนจริง $\varpi$ ขึ้นอยู่กับ $\mathcal{O}$ (a "quaternionic / octonionic $2\pi$")?
เห็นได้ชัด $\varpi$จะถูกกำหนดให้เป็นปัจจัยที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น คำถามที่เทียบเท่าคือว่า$(S_m[\mathcal{O}])^n/(S_n[\mathcal{O}])^m$ มีเหตุผลสำหรับใด ๆ $m, n$ ดังนั้น $S_n[\mathcal{O}]\neq 0$.
คำถามย่อยที่ 2:ถ้าเป็นเช่นนั้นสามารถ (ตัวเลือกคงที่ของ)$\varpi$ แสดงในรูปของค่าคงที่ที่ทราบเช่น $\zeta'(-1)$ หรือ $\zeta'(-3)$เหรอ?
เหตุผลที่ฉันพูดถึงค่าคงที่เฉพาะเหล่านี้คือในกรณีก่อนหน้านี้ (จริงและซับซ้อน) ช่วงเวลา $\varpi$ ปรากฎว่าเท่ากับ $e^{-\zeta'(\mathcal{O},0)/\zeta(\mathcal{O},0)}$ ขึ้นอยู่กับปัจจัยพีชคณิตโดยที่ฟังก์ชันซีตาติดกับวงแหวนของจำนวนเต็ม $\mathcal{O}=\mathbb{Z}$ หรือ $\mathbb{Z[\omega]}$ ถูกกำหนดให้เป็น
$$\zeta(\mathcal{O},s) = \sum_{0\neq \lambda\in\mathcal{O}} |\lambda|^{-s}.$$
(โดยทั่วไปไม่เหมือนกับผลรวมก่อนหน้าโปรดสังเกตค่าสัมบูรณ์) ในกรณีที่$\mathcal{O}$ แทนที่จะเป็นคำสั่ง quaternionic หรือ octonionic ซึ่งเป็นอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชันซีตานี้ที่ $s=0$ สามารถแสดงในรูปของ $\zeta'(-1)$ หรือ $\zeta'(-3)$ ตามลำดับที่ไหน $\zeta(s)$ คือฟังก์ชันซีตา Riemann ธรรมดา
ฉันคำนวณผลรวมเป็นตัวเลขสำหรับวงแหวนของ Hurwitz quaternions ผลลัพธ์คือ$$S_6[\mathcal{O}] \approx 10.76,\quad S_8[\mathcal{O}] \approx 1.196,\quad S_{12}[\mathcal{O}] \approx 23.9905.$$
น่าเสียดายที่การคำนวณใช้เวลามากและความแม่นยำไม่เพียงพอที่จะตัดสินว่าเช่น $S_{12}[\mathcal{O}]/(S_6[\mathcal{O}])^2$ มีเหตุผลสำหรับความมั่นใจในระดับใด ๆ
ฉันยังพบนี้กระดาษที่ผ่านมาโดยซีอาเมียร์-Khosravi ที่หมายถึงงานก่อนหน้านี้โดยอาร์ Fueterและอาร์ Krausshar แน่นอน$3$- ตระกูลพารามิเตอร์ของฟังก์ชัน quaternionic Eisenstein ที่เกี่ยวข้องกับโครงตาข่ายใน $\mathbb{R}^4$ได้รับการแนะนำและแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์แบบช่วงเวลาที่คล้ายกับในกรณีที่ซับซ้อน น่าเสียดายที่รูปแบบของฟังก์ชันเหล่านี้ถูก จำกัด โดย quaternionic regularity เพื่อให้มีปัจจัยของ quaternionic norm (สมการ cf (2.5) - (2.7) ในกระดาษ) และเท่าที่ฉันเห็นมันไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับผลรวม ของพลังบริสุทธิ์ที่ฉันสนใจ
คำตอบ
นี่ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ แต่มันยาวเกินไปสำหรับความคิดเห็นและอาจให้ข้อมูลเหมือนกันทั้งหมด
ผลรวมของคุณ $S_k[\mathcal{O}]$ สามารถเขียนเป็นค่าได้ที่ $s = k$ ของผลรวม $$\sum_{0 \ne \lambda \in \mathcal{O}} \frac{\lambda^k}{Nm(\lambda)^s} = \sum_{n \ge 1} a^{(k)}_n n^{-s},$$ ที่ไหน $a^{(k)}_n := \sum_{N(\lambda) = n} \lambda^k$.
ตอนนี้ฉันอ้างว่า $\sum_{n \ge 1} a^{(k)}_n q^n$ คือ $q$- การขยายรูปแบบโมดูลาร์ - หรือสิ่งที่กว้างกว่าเล็กน้อยคือรูปแบบกึ่งโมดูลาร์ [*] - ของน้ำหนัก $k + 2$ และบางระดับขึ้นอยู่กับ $\mathcal{O}$; สำหรับจำนวนเต็ม Hurwitz ระดับคือ$\Gamma_0(2)$. สิ่งนี้ควรตามมาจากการคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ของ Brandt ซึ่งเป็นวิธีการคำนวณรูปแบบโมดูลาร์โดยใช้ quaternion algebras ดูบทความนี้โดย Kimball Martin
อย่างไรก็ตามเมื่อคุณรู้ว่าต้องค้นหาอะไรตอนนี้ก็สามารถจดจำลำดับได้ค่อนข้างง่าย $(a^{(k)}_n)_{n \ge 1}$ สำหรับขนาดเล็ก $k$. ตัวอย่างเช่นเมื่อ$k = 6$สิ่งที่คุณจะได้รับคือไฟล์ $q$- การขยายตัวของ $12f_8$, ที่ไหน $f_8$เป็นรูปแบบที่ไม่ซ้ำกัน cusp ปกติแบบแยกส่วนของน้ำหนัก 8 และระดับที่ 2 ดังนั้น$S_6[\mathcal{O}]$ คือค่าของ $L$- ชุดของรูปแบบโมดูลาร์ ในความเป็นจริงเรามี$S_6[\mathcal{O}] = 12 L(f_8, 6) = 10.758540419274832757072...$ซึ่งสอดคล้องกับการคำนวณของคุณข้างต้น ในทำนองเดียวกันเว้นแต่ฉันจะลื่นไถลในการคำนวณของฉันเราก็มี$$S_8[\mathcal{O}] = 12 \big( L(f_{10}, 8) - L(f_8, 7) \big) = 1.18636076594110...$$ ที่ไหน $f_{10}$ เป็นรูปปากแตรของน้ำหนัก 10 ตั้งแต่ช่วงของ $f_{10}$ และ $f_{8}$ ไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกันเป็นหลักสิ่งนี้ชี้ให้เห็นอย่างยิ่งว่าไม่มีความสัมพันธ์ทางพีชคณิตที่เป็นระเบียบเรียบร้อยระหว่าง $S_6[\mathcal{O}]$ และ $S_8[\mathcal{O}]$.
[*] รูปแบบเสมือนโมดูลาร์ไม่ได้น่ากลัวเกินไป: เป็นวงแหวนของฟังก์ชันที่คุณจะได้รับโดยการเริ่มต้นด้วยรูปแบบโมดูลาร์ของแท้และการใช้ฟังก์ชัน $E_2 = 1 - 24\sum \sigma(n) q^n$.
แก้ไข การทดลองเชิงตัวเลขเพิ่มเติมแนะนำสูตรที่ชัดเจนดังต่อไปนี้: if$\mathfrak{S}(m)$ หมายถึงชุดของรูปแบบใหม่ที่เป็นมาตรฐานของระดับ 2 และน้ำหนัก $m$แล้วสำหรับทุกๆ $k \ge 6$ เราดูเหมือนจะมี $$S_k[\mathcal{O}] = 12\left( \sum_{f \in \mathfrak{S}(k+2)} L(f, k) - \sum_{f \in \mathfrak{S}(k)} L(f, k-1) \right).$$