ระบบสมการแสดงถึงอะไร?
ระบบสมการได้รับการสอนค่อนข้างเร็วในหลักสูตรของอเมริกา เราได้รับการสอนวิธีการเปลี่ยนตัวและวิธีกำจัดเพื่อแก้ปัญหา เราได้รับการสอนวิธีใช้เมทริกซ์หรือกราฟเป็นกลยุทธ์ทางเลือกในการเข้ารหัส / แสดงภาพ
มีระบบสมการเชิงเส้น ... มีระบบสมการที่ไม่ใช่เชิงเส้น ... และมีระบบสมการที่มีตัวแปร 1 ตัวหรือหลายตัว อย่างไรก็ตามจนถึงทุกวันนี้ฉันยังไม่เข้าใจจริงๆว่าระบบสมการคืออะไร ฉันพยายามค้นหาการตีความเชิงนามธรรมของระบบสมการ แต่ไม่ประสบความสำเร็จมากนัก ฉันสนใจที่จะหา "ระบบสมการนามธรรม" นี้มากเพราะมีประโยคบัญญัติ (เช่นคลาสสิก "คุณต้องการสมการมากถึงตัวแปรเพื่อหาคำตอบ") ซึ่งฉันอยากจะพิสูจน์มาก
ฉันพยายามคิดว่าตัวเองมีลักษณะเป็นนามธรรม แต่ก็ยังไม่ก้าวหน้ามากนัก ฉันจะอธิบายกรณีของสมการหนึ่งที่มีตัวแปรเดียวและสองสมการที่มีสองตัวแปร (ซึ่งเป็นที่ที่ฉันพบปัญหา)
หนึ่งสมการ - ตัวแปรเดียว
พิจารณาสมการโดยพลการล้วนๆ: $$a = b +\alpha x \ \text{ where}\ \alpha \neq 0$$
ความพยายามในการแก้สมการนี้สามารถเปลี่ยนวลีได้ว่า "หาฉันพบ $x$ ที่แมปกับ $a$ ผ่านฟังก์ชั่น $f(x) = b + \alpha x$. "ดังนั้นคำถามนี้จึงเป็นคำถามหนึ่งที่ต้องการให้เราค้นหาฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ว่าเมื่อไหร่ $a$ ให้เป็นอินพุต $x$ จะถูกส่งออก
การแก้ปัญหาสำหรับ $x$ โดยอาศัยการแทนที่ $b$ จากทั้งสองด้านแล้วหารทั้งสองข้างด้วย $\alpha$ มีประสิทธิภาพในการกำหนดฟังก์ชันผกผันเช่น: $f^{-1}(x')=\frac{x' -b}{\alpha}$... สำหรับวัตถุประสงค์ในอนาคตโปรดทราบว่าสิ่งนี้สามารถแสดงเป็น $f^{-1}\big(f(x)\big)=\frac{f(x) -b}{\alpha}$. กำลังเสียบปลั๊ก$a$ สำหรับ $x'$ เรามาถึงคำตอบของสมการนี้ซึ่งก็คือ $f^{-1}(a)=\frac{a-b}{\alpha}$. จนถึงตอนนี้ดีมาก
สองสมการ - สองตัวแปร
พิจารณาสมการสองตัวแปรตามอำเภอใจต่อไปนี้:
$$a=b+\alpha x + \beta y \ \text{ where}\ \alpha, \beta \neq 0$$
$$c=d +\gamma x + \delta y \ \text{ where}\ \gamma, \delta\neq 0$$
ตามตรรกะเดียวกันของส่วน "สมการเดียว - ตัวแปรเดียว" การแก้สำหรับ $x$ และ $y$ สามารถมองได้ว่าเป็นการสร้างฟังก์ชันผกผันสำหรับทั้งสองสมการข้างต้นซึ่งสามารถสร้างใหม่เป็นอินสแตนซ์เฉพาะของ:
$$g\big( (x,y) \big) = b+\alpha x + \beta y$$
$$h \big ( (x,y) \big ) = d +\gamma x + \delta y$$
เกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาสำหรับการผกผันเหล่านี้ฉันไม่มีเงื่อนงำที่ชัดเจนที่สุด เห็นได้ชัดว่าเราสามารถเปลี่ยนกลับไปใช้วิธีมาตรฐานในการทดแทนและมาถึงวิธีแก้ปัญหาขนาดใหญ่ดังต่อไปนี้:
$$ y = \frac{\alpha \Big ( h \big((x,y)\big) -d \Big) -\gamma g\big( (x,y) \big)+\gamma b}{\delta \alpha - \beta \gamma}$$
และ
$$ x = \frac{g\big( (x,y) \big) -b - \beta y}{\alpha}$$
อย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านี้ไม่ใช่การผกผันของฟังก์ชัน $g$ และ $h$. อันที่จริง ... ฉันไม่รู้ด้วยซ้ำว่าสมการเหล่านี้แสดงถึงอะไร หากคุณต้องเสียบค่าของ$y$ ในสมการสุดท้ายสำหรับ $x$ (ฉันละไว้เพื่อความกะทัดรัด) คุณจะเห็นว่าไฟล์ $y$ สมการและ $x$ สมการทั้งสองมี $g\big ( (x,y) \big)$ และ $h \big ( (x,y) \big)$ ในพวกเขา ... ดังนั้นสมการเหล่านี้เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามเหมือน กล่าวคือการกำหนด$(x,y)$ต้องการข้อมูลจากทั้งสองอย่าง $g$ และ $h$ซึ่งให้เบาะแสแรกว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า "คุณต้องการสมการมากพอ ๆ กับตัวแปรเพื่อหาคำตอบ" เมื่อเชื่อมโยงสิ่งนี้กลับไปที่ส่วน "สมการเดียว - ตัวแปรเดียว" โปรดจำไว้ว่า$f^{-1}\big(f(x)\big)=x = \frac{f(x)-b}{\alpha}$ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันเดียวเพื่อแก้ปัญหา
หวังว่าฉันจะไม่เข้าใจคำถามนี้อย่างสมบูรณ์และสามารถถ่ายทอดสิ่งที่ฉันเป็นหลังจากนั้นได้อย่างเพียงพอ ข้อมูลเชิงลึกใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก ไชโย ~
คำตอบ
การนำภาษาของฟังก์ชันผกผันและอื่น ๆ มาใช้ไม่ใช่เรื่องไร้เหตุผล แต่ในความคิดของฉันทำให้สิ่งต่าง ๆ ลึกลับมากกว่าที่ควรจะเป็น แต่ฉันชอบการตีความแบบเซต - ทฤษฏีมากกว่าหรืออาจจะเป็นแบบ "เรขาคณิตทั่วไป"
แนวคิดพื้นฐานคือสมการจะแกะสลักรูปทรงเรขาคณิตในช่องว่างที่เกี่ยวข้องเช่น $\mathbb{R}^3$- คือพวกเขาชุดแก้ปัญหา ในทำนองเดียวกันระบบสมการจะสอดคล้องกับจุดตัด : ระบบสมการอธิบายจุดตัดของรูปทรงที่อธิบายโดยสมการแต่ละสมการในนั้น รูปแบบพีชคณิตสอดคล้องกับคุณสมบัติทางเรขาคณิตและในทางกลับกันและสิ่งนี้มักช่วยให้เราสามารถเชื่อมโยงผลลัพธ์ทางเรขาคณิตและพีชคณิตได้เช่นพิจารณาสมการเชิงเส้น "สาม" ทั่วไป "ในสามสมการที่ไม่รู้จักมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ" เทียบกับ "ระนาบสามแบบใน$\mathbb{R}^3$ ใน 'ตำแหน่งทั่วไป' มีจุดเดียวที่เหมือนกัน "
การแก้สมการหรือระบบสมการจะเป็นการให้คำอธิบายที่ "ง่ายกว่า" ของเซตที่เกี่ยวข้อง (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งคำอธิบายที่ง่ายกว่านี้ควรทำให้ชัดเจนว่าชุดนั้นไม่ว่างเปล่า) โปรดทราบว่านี่หมายความว่ากระบวนการแก้ปัญหาเป็นการเปลี่ยนวลี "เพียง" หนึ่งในสโลแกนที่ผมชอบในบริบทนี้คือสมการที่จะกลายเป็นคำตอบ เครื่องมือต่างๆที่เรา "อนุญาต" ให้ใช้ในการแก้สมการ (ระบบ) นั้นสอดคล้องกับทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับชุดการแก้ปัญหาที่กำหนดโดยสมการ (ระบบ) ที่เกี่ยวข้องบางอย่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการที่แสดงว่าสองสมการมีคำตอบเหมือนกัน ชุด:
ความจริงที่ว่าเช่นการเพิ่มบางสิ่งลงในสมการทั้งสองข้างจะไม่ส่งผลต่อชุดการแก้ปัญหาเป็นผลมาจากกฎพื้นฐานของความเท่าเทียมกันในตรรกะลำดับที่หนึ่ง
เทคนิคอื่น ๆ มีความเฉพาะเจาะจงตามบริบทมากกว่าเช่นความจริงที่ว่าเราสามารถเพิ่ม "$a-a$"ด้านหนึ่งของสมการใด ๆ ขึ้นอยู่กับสัจพจน์เฉพาะที่ควบคุมการลบ
เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นโดยความจริงของฟิลด์ชุดโซลูชันของ $s=t$คือการรวมกันของชุดคำตอบของสมการ${s\over x}={t\over x}$ และชุดคำตอบของระบบสมการ $\{s=t, x=0\}$. ที่นี่เราไม่เพียง แต่ยืนยันความเท่าเทียมกันระหว่างชุดคำตอบสองชุดเท่านั้น แต่ยังซับซ้อนกว่านั้น (และอธิบายว่าเหตุใดการหารจึง "รู้สึกแตกต่าง" ในฐานะเครื่องมือแก้สมการ)
แต่ "(ระบบ) สมเป็นชุด" ไม่ได้เป็นตอนจบของเรื่องนี้สมการมีชีวิตของตัวเอง ตัวอย่างเช่นเราสามารถพิจารณา "$4x^2-3y=17$" เกิน $\mathbb{R}$หรือมากกว่า $\mathbb{C}$หรือมากกว่า $\mathbb{H}$หรือมากกว่าจำนวนเต็มโมดูโล$42$หรืออื่น ๆ การเปลี่ยนโครงสร้างจะเปลี่ยนชุดที่เกี่ยวข้องกับสมการโดยมักจะทิ้งขอบเขตของสิ่งที่เราพิจารณา "เรขาคณิต" ไปโดยสิ้นเชิง หัวข้อของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเกี่ยวข้องกับการขยายมุมมองของเราเกี่ยวกับสิ่งที่ประกอบขึ้นเป็น "เรขาคณิต" เพื่อรวมสิ่งเหล่านี้เข้าด้วยกันและการขยายนี้กลายเป็นประโยชน์อย่างยิ่ง
สรุป:
สมการและระบบสมการอธิบายวิธีการในการกำหนดชุดซึ่งเราอาจพยายามที่จะคิดว่าเป็นรูปร่างในความรู้สึกบางอย่างเพื่อเค้า การแก้ปัญหา (มากกว่าโครงสร้างที่กำหนด) เป็นการให้คำอธิบายที่ดีของชุดที่เกี่ยวข้อง
และมองไปข้างหน้ากับตรรกะ(ทุกคนรักตรรกะขวา: P)โดย generalizing ความคิดนี้อย่างมีนัยสำคัญที่ค่าใช้จ่ายของส่วนใหญ่สูญเสียรสชาติเรขาคณิตเราลมขึ้นกับทฤษฎีแบบจำลอง - เห็นเช่นที่นี่
เพื่อให้เข้าใจว่าระบบสมการคืออะไรฉันจะบอกว่าเข้าใจให้ดีขึ้นว่าสมการคืออะไรและนั่นทำให้คุณต้องย้อนกลับไปอีกขั้นและเข้าใจความคิดที่ว่านิพจน์คืออะไรและ ของการประเมินผล
"นิพจน์" คือชุดสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ "ถูกต้องตามหลักไวยากรณ์" ซึ่งย่อมาจากและด้วยเหตุนี้จึงระบุวัตถุทางคณิตศาสตร์เฉพาะเช่นตัวเลขชุดหรือเมทริกซ์และกระบวนการพิจารณาว่าวัตถุใดที่นิพจน์อ้างถึง เรียกว่าการประเมินนิพจน์นั้น ตัวอย่างเช่นนิพจน์ "$5 + 9$"(สำหรับคำจำกัดความตามปกติของ" 5 "," 9 "และ" + ") หมายถึงและประเมินเป็นตัวเลข" 14 "นิพจน์ $9 - 5$ในทำนองเดียวกันหมายถึงตัวเลข "4" สังเกตว่า "$14$"และ"$4$"ยังเป็นการแสดงออกของตัวเอง แต่การประเมินของพวกเขาเป็นเรื่องเล็กน้อย
สมแล้วที่เป็นตัวอย่างของชนิดพิเศษในการแสดงออกเรียกว่าหนึ่งนิพจน์บูลีนหรือที่เรียกว่าเป็น " กริยา " ต่างจากนิพจน์ข้างต้นที่ประเมินเป็นตัวเลขนิพจน์บูลีนจะประเมินเป็นค่าตรรกะเช่น " จริง " หรือ " เท็จ " ในระบบตรรกะที่ใช้กันมากที่สุดในคณิตศาสตร์ ในกรอบนี้ "$=$"ในสมการคือตัวมันเองฟังก์ชันก็เหมือนกับ $+$ซึ่งก็เช่นกัน $+$รับอาร์กิวเมนต์สองตัว (ดังนั้นจึงเป็น "ฟังก์ชันไบนารี") แต่จะส่งกลับค่าตรรกะแทนตัวเลข ตัวอย่างเช่น, "$5 = 5$"ประเมินเป็น" จริง "แต่"$5 = 9$"ประเมินเป็น" เท็จ "ในเชิงความหมาย"$a = b$"หมายความว่า"$a$ เหมือนกับ $b$"ดังนั้นฟังก์ชันบูลีน $=$ ให้ "True" ก็ต่อเมื่ออาร์กิวเมนต์อินพุตทั้งสองเป็นสิ่งเดียวกันมิฉะนั้นจะให้ "False"
จากนั้นเมื่อเราพูดว่า "เช่นนั้น $\mbox{(smth 1)} = \mbox{(smth 2)}$"หรือเหมือนในภาษาอังกฤษเรากำลังพูด" เช่นนั้นนิพจน์บูลีน '$\mbox{(smth 1)} = \mbox{(smth 2)}$"ประเมินเป็น" จริง ""
นั่นคือสมการเดี่ยว
แล้วระบบสมการคืออะไร? มันเป็นอีกนิพจน์บูลีนอีกแบบหนึ่งนั่นคือสิ่งที่มีมูลค่าเชิงตรรกะตอนนี้เรารวมเข้าด้วยกันด้วย "ANDs" นั่นคือ,
$$\begin{cases}\mbox{(expr 1)} = a_1\\ \mbox{(expr 2)} = a_2\\ \cdots\\ \mbox{(expr $n$}) = a_n\end{cases}$$
เป็นเพียงสัญลักษณ์อื่นที่เฟื่องฟูสำหรับนิพจน์บูลีนหรือเพรดิเคต
$$[\mbox{(expr 1)} = a_1] \wedge [\mbox{(expr 2)} = a_2] \wedge \cdots \wedge [\mbox{(expr $n$)} = a_n]$$
ที่ไหน $\wedge$ ตอนนี้เป็นฟังก์ชันบูลีนไบนารีอื่นที่แสดงถึง "และ" ซึ่งตามที่คุณคาดหวังหรือไม่คาดคิดก็คือ "True" ก็ต่อเมื่ออินพุตบูลีนทั้งสองเป็น "True" เช่นกัน
ในที่สุดแนวคิดของการ " แก้ " สมการหรือระบบสมการก็หมายความว่า "หาค่าที่ฉันควรจะใส่เข้าไปในตัวแปรเพื่อทำให้นิพจน์บูลีนย่อมาจากการประเมินเป็น 'จริง'"
คำตอบอื่น ๆ ที่นี่กล่าวถึงชุด - อันที่จริงสองสิ่งนี้มีความเชื่อมโยงกันอย่างใกล้ชิดเนื่องจากชุดและนิพจน์บูลีน (เพรดิเคต) สะท้อนซึ่งกันและกันด้วยวิธีที่ง่ายมาก: เราสามารถแสดงนิพจน์บูลีนใด ๆ โดยใช้ชุดโซลูชันนั่นคือชุดของ การกำหนดตัวแปรทั้งหมดที่ทำให้ประเมินเป็น "จริง" หรือดีกว่าเป็นนิพจน์บูลีนที่เกี่ยวข้องกับการเป็นสมาชิกชุด $\in$เช่น
$$(x_1, x_2, \cdots, x_n) \in S$$
สำหรับบางชุด $S$การรวมค่าของตัวแปร อย่างไรก็ตามเซตมีความกว้างกว่ามากที่การสนทนาของสิ่งนี้ล้มเหลว: เซตโดยพลการไม่มีการรับประกันเลยว่าจะแสดงออกเป็นนิพจน์บูลีนไม่ว่าจะเป็นสมการระบบสมการหรืออื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันง่ายๆเท่านั้นเช่น$+$ และเพรดิเคตเช่น $=$ท่ามกลางตัวแปร ในความเป็นจริงชุดส่วนใหญ่สามารถแสดงได้ด้วยการเขียนสมาชิกทุกคนอย่างพิถีพิถันซึ่งอาจไม่มีที่สิ้นสุด: มากถึงมากไม่สิ้นสุด
อันที่จริงเราสามารถพูดได้ว่าจุดประสงค์ทั้งหมดของเซตคือการทำให้ "สนทนา" นี้ล้มเหลวนั่นคือเพื่อให้เราเข้าถึงและให้เหตุผลเกี่ยวกับแนวคิดที่เป็นสากลและกว้างกว่ามากเกี่ยวกับเพรดิเคตนอกเหนือจากที่เราสามารถเขียนลงไปอย่างชัดเจนได้ "ชุดอธิบายคุณสมบัติของสมาชิก" เป็นวิธีหนึ่งในการใส่สิ่งนี้และนี่คือสาเหตุที่ชุดนั้นไม่ยอมรับสมาชิกซ้ำซึ่งอาจไม่ชัดเจนนักจากวิธีที่มักเรียกกันว่า "ถุงใส่ของ" .
ระบบสมการสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นชุดของความเท่าเทียมกันบนโครงสร้างFOL ที่กำหนด เป็นโครงสร้างที่บอกคุณว่าอนุญาตให้ดำเนินการใดได้บ้างซึ่งช่วยให้คุณสามารถสร้างเงื่อนไขโดยใช้ตัวแปรอิสระและความเท่าเทียมกันแต่ละอย่างเป็นเพียงสูตรของรูปแบบ "$t=u$"ที่ไหน $t,u$เป็นคำที่อยู่เหนือโครงสร้าง คุณต้องเข้าใจ FOL เพื่อที่จะเข้าใจว่าสมการหมายถึงอะไร
ตัวอย่างเช่นสมการพหุนามเหนือวงแหวนเป็นเพียงความเท่าเทียมกันเหนือวงแหวนนั้น เมื่อคุณแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์จริงสิ่งที่คุณกำลังทำอยู่คือการหาทูเพิลของจำนวนจริงที่สามารถกำหนดเป็นค่าให้กับตัวแปรอิสระของสมการเหล่านั้นเพื่อทำให้เป็นจริงในโครงสร้างของจำนวนจริง โดยทั่วไปแล้วการกำจัด Gaussian บนระบบสมการเชิงเส้นจะทำงานบนฟิลด์ใด ๆ ไม่ใช่เฉพาะฟิลด์ของจริงเนื่องจากการดำเนินการทั้งหมดที่คุณใช้ในการกำจัดแบบเสียนได้รับการสนับสนุนโดยฟิลด์ดังกล่าว
มุมมองนี้รวบรวมแนวคิดทั่วไปของ "ระบบสมการ" ที่คุณน่าจะพบในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถมีระบบสมการเชิงอนุพันธ์ได้เช่นกันโดยที่โครงสร้างพื้นฐานมักจะเป็นโครงสร้างแบบเรียงลำดับ 2$((ℂ,F),D,...)$ที่เรียงลำดับแรก $ℂ$ คือจำนวนเชิงซ้อนและการเรียงลำดับที่สอง $F$ คือชุดของฟังก์ชันที่แตกต่างในบางส่วนของ $ℂ$และ $D$ คือการดำเนินการสร้างความแตกต่าง $F$, และ "$...$"สำหรับการดำเนินการตามปกติทั้งหมดที่มาพร้อมกับ $ℂ$ และ $F$. ตัวอย่างเช่นระบบ$\Big\{ \frac{dx}{dt} = a·y , \frac{dy}{dt} = b·x \Big\}$ ที่ไหน $a,b∈ℂ$ จะเป็นระบบ $\{ \ D(f) = scale(a,g) \ , \ D(g) = scale(b,f) \ \}$ ที่ไหน $scale : ℂ×F→F$ คือการดำเนินการที่แสดงถึงการคูณสเกลาร์ของจำนวนเชิงซ้อนบนฟังก์ชันใน $F$และ $f,g$ เป็นตัวแปรฟรีในการจัดเรียง $F$.
อย่างไรก็ตามคุณไม่จำเป็นต้องมีสมการมากเท่าตัวแปรเพื่อหาคำตอบ$\{ x+y = 0 \}$มีสมการเดียว แต่มีสองตัวแปร แต่คุณสามารถหาคำตอบได้อย่างง่ายดาย ... สิ่งที่คุณอาจต้องการพูดคือ "วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ" ซึ่งใช้กับระบบสมการเชิงเส้นบนสนามไม่ใช่โดยทั่วไป ตัวอย่างเช่น$\{ x^2+y^2 = 0 \}$ มีสมการเดียว แต่มีสองตัวแปรและยังมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเหนือค่าความเป็นจริง
นอกจากนี้อย่างที่คุณอาจทราบในตอนนี้ความจริงที่ว่าชุดโซลูชันสำหรับระบบสมการเชิงเส้นบนสนามในรูปแบบไฮเปอร์เพลนนั้นค่อนข้างพิเศษและสถานการณ์ทั่วไปก็ยุ่งเหยิงกว่ามาก ตัวอย่างเช่น$\{ x+y = 2 , x-y = 1 \}$ ไม่มีทางแก้มากกว่าจำนวนเต็ม