ระเบิดหลายครั้ง

Question

สมมติว่าฉันพิจารณาข้างใน $\mathbb{P}^6$อนุพันธุ์ $Y=V(x_2,\ldots,x_6)\simeq \mathbb{P}^1$ และ $Z=V(x_0,\ldots,x_3)\simeq \mathbb{P}^2 $.

ฉันต้องการที่จะเข้าใจว่าอะไรคือการระเบิดของ $\mathbb{P}^6$ พร้อม $Y,Z$. ตามหนังสือเรขาคณิตพีชคณิตของแฮร์ริสฉันเริ่มจาก$Bl_Y(\mathbb{P}^6)$: อุดมคติของ $Y$ คือ $I(Y)=(x_2,\ldots,x_6)$ดังนั้นฉันจึงมีแผนที่ที่มีเหตุผล

$$\phi:\mathbb{P}^6 \dashrightarrow \mathbb{P}^4, p\mapsto [p_2:\ldots:p_6]$$ และ $Bl_Y(\mathbb{P}^6)\subset \mathbb{P}^6\times\mathbb{P}^4$ คือความหลากหลายปิดที่เกี่ยวข้องกับกราฟของ $\phi$.

ตอนนี้ฉันอยากจะระเบิด $\mathbb{P}^6$ พร้อม $Z$ดังนั้นฉันคิดว่าฉันต้องเรียน

$$Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))$$

และที่นี่ฉันมีคำถามหลายข้อ:

• $Bl_Z(Bl_Y(\mathbb{P}^6))\subset \mathbb{P}^6\times \mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^3$เหรอ? ฉันเดาอย่างนั้นเนื่องจากฉันทำซ้ำขั้นตอนข้างต้นดังนั้นฉันจึงสงสัยว่าลำดับของ$n$-blow ups เช่นอาศัยอยู่ในผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของ $n+1$- ช่องว่างที่คาดหวัง (แม้ว่าฉันจะฝังมันผ่านแผนที่ Segre ได้อย่างชัดเจน);
• ฉันจะระเบิดพร้อมกันได้ไหม $\mathbb{P}^6$ พร้อม $Y,Z$เหรอ? ฉันได้รับการก่อสร้างแบบเดียวกันหรือไม่?
• (เชื่อมโยงกับคำถามข้างต้น): จะเกิดอะไรขึ้นถ้า $Y\cap Z \neq \emptyset$เหรอ?

Answer 1

1. ใช่คุณสามารถทำได้ - เมื่อใดก็ตามที่คุณระเบิดบางสิ่งบางอย่าง (ในพื้นที่) ให้ตัดออก $d$ สมการภายใน $X$คุณสามารถฝังระเบิดลงในผลิตภัณฑ์ได้ $X\times\Bbb P^{d-1}$. สิ่งนี้มาจากคำอธิบายของการระเบิดในฐานะญาติ:$Bl_ZX=\underline{\operatorname{Proj}} \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$และในเครื่อง $X$ เราได้รับการคาดเดา $\mathcal{O}_X[t_1,\cdots,t_d]\to \bigoplus \mathcal{I}_Z^n$ ซึ่ง (หลังจากติดกาว) สอดคล้องกับการแช่แบบปิด $Bl_ZX\hookrightarrow \Bbb P^{d-1}_X$.
2. ใช่ถ้า $Y,Z$ เป็นสองแผนย่อยที่ปิดไม่ปะติดปะต่อกันจากนั้นระเบิดทั้งหมด $Bl_Y(Bl_Z X)$, $Bl_Z(Bl_Y X)$ และ $Bl_{Y\cup Z} X$เหมือนกัน. สิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้ในเครื่องเนื่องจากการระเบิดเป็นไอโซมอร์ฟิสห่างจากสิ่งที่คุณระเบิด
3. ปรากฎว่าส่วนหนึ่งของข้อสรุปของเราจากการถือ 2 ครั้งเมื่อเราสรุปอย่างเหมาะสม: $Bl_{\pi^{-1}(Y)}(Bl_Z X) \cong Bl_{\pi^{-1}(Z)}(Bl_Y X)$(นี่คือ Lemma IV-41 ใน Eisenbud และ Harris ' The Geometry of Schemes ) โปรดทราบว่านี่คือการแปลงทั้งหมดไม่ใช่การแปลงแบบเข้มงวด - การแปลงแบบเข้มงวดมีความอ่อนไหวต่อคำสั่ง ไม่ว่าจะเท่ากับหรือไม่$Bl_{Y\cup Z}(X)$ ก็น่าจะขึ้นอยู่กับว่า $Y$ และ $Z$ ตัดกัน แต่ตอนนี้ฉันไม่มีตัวอย่างให้คำแนะนำที่สะดวกและโดยพื้นฐานแล้วทฤษฎีทั่วไปทั้งหมดสำหรับการแก้ปัญหาความเป็นเอกฐานได้รับการพัฒนาโดยสมมติว่ามีการระเบิดไปตามจุดศูนย์กลางที่ราบเรียบซึ่งทำให้คุณกลับไปอยู่ในสถานการณ์ 2