แสดงว่า $\angle BOC=\angle AOD$.

Aug 18 2020

ปล่อย $E$ และ $F$ เป็นจุดตัดของด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมนูน $ABCD$. เส้นทแยงมุมทั้งสองมาบรรจบกันที่$P$. ปล่อย$O$ เป็นส่วนที่ตั้งฉากจาก $P$ ถึง $EF$. แสดงว่า$\angle BOC=\angle AOD$.

นี่คือแผนภาพ:

ฉันกำหนด $X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $ .

ตอนนี้โดยคำศัพท์ที่เป็นที่รู้จักเรามี $(Y,X;P,E)=-1$ และโดย apollonius lemma เราได้รับ $PO$ แบ่งครึ่ง $\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

ในทำนองเดียวกันเรารู้ว่า $(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$ แบ่งครึ่ง $\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$ .

แต่ความเท่าเทียมกันของมุมนี้ทำให้ฉันไม่ไปไหนมีใครให้คำแนะนำได้บ้าง ขอบคุณล่วงหน้า !

คำตอบ

4 Dr.Mathva Aug 18 2020 at 00:13

ให้ฉันช่วยแก้ไขปัญหาโดยย่อ

สามเหลี่ยม $\triangle ABC$ และเซเวียสามคน $AD, BE, CF$ ซึ่งเห็นด้วยที่ $P$ได้รับ กำหนด$O:=EF\cap AD$ และปล่อยให้ $H$ เป็นการฉายภาพมุมฉากของ $O$ ไปยัง $BC$. พิสูจน์ว่า$\angle EHA=\angle KHF$.

ปล่อย $L:=AH\cap EF$ และ $K:=HP\cap EF$. เราจะมาพิสูจน์กันก่อน$\angle LHO=\angle OHK$แล้วก็นั่นแหละ $\angle EHO=\angle OHF$. สังเกตว่าผลที่ตามมาจากการสังเกตเหล่านี้

ส่วนแรกสังเกตว่า - ตามที่ทราบกันดี - $$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$ ตั้งแต่ $(J,O; K, L)$ เป็นฮาร์มอนิกและ $\angle OHJ=90^\circ$หนึ่งอนุมานได้ว่าในความเป็นจริง $\angle LHO=\angle OHK$. ส่วนอื่น ๆ สามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกันเนื่องจากเรามีอยู่แล้ว$(J,O;F,E)=-1$.