เส้นทางเอกลักษณ์เฉพาะ

Question

ฉันอ่านพื้นหลังสนามวิธีการในEPFL บรรยายใน GR เป็น EFT ผู้เขียนใช้ข้อมูลประจำตัวนี้ในหน้า 23 สมการ (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$ซึ่งเป็นเพียงอินทิกรัล Gaussian (path) มาตรฐาน แต่พวกเขาใช้สิ่งนี้ต่อไป:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$ซึ่งฉันไม่เข้าใจทั้งหมด สิ่งนี้ใช้ประโยชน์จากไฟล์$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$เหรอ? ถ้าเป็นเช่นนั้นเหตุใดจึงมีอินทิกรัลในไฟล์$\exp$ - ไม่ควรมีฟังก์ชันเดลต้าที่เกี่ยวข้องเพื่อ 'ยกเลิก' หรือไม่?

Answer 1

1. ใช่ OP ถูกต้อง: การบรรยายใช้การรวมเส้นทางเกาส์เซียนและตัวตน$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$ใน eq (174)

2. ถัดไปการบรรยายจะใช้ความสัมพันธ์ที่สมบูรณ์ $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ และ $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$ใน eq (174)

3. ร่องรอยการรอดชีวิตบน RHS ของ eq ล่าสุด (174) อาจเป็นร่องรอยของรสชาติและบ่งชี้ว่าร่องรอยใน eq (iii) เป็นเพียงร่องรอยบางส่วน

Answer 2

ใช่คุณพูดถูก - เอกลักษณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ - ลอการิทึมถูกใช้ข้างต้น สำหรับเลขชี้กำลังมีการใช้สิ่งต่อไปนี้ (จากหนังสือField Quantizationโดย Greiner, Reinhardt, ตอนที่ 11, หน้าที่ 353) -
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

นอกจากนี้ยังมีการพิสูจน์หลักฐานข้างต้น $2\pi$ส่วนใหญ่อาจถูกดูดซับในค่าคงที่ที่มาพร้อมกันแล้ว นิพจน์ที่ให้ไว้ในคำถามของคุณคือ (ส่วนใหญ่อาจเป็น) แอ็คชั่นอินทิกรัลในเฟนแมน (พา ธ อินทิกรัล) และนั่นคือเหตุผลที่$-i$ อยู่ที่นั่น - จุดสำคัญของพิธีการของไฟน์แมนคือการกระทำสามารถเขียนเป็น $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. ไชโย!