สมการคลื่น PDE

Question

แก้ปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้น

\ start {eqnarray} u_ {tt} & = & u_ {xx} + u_t ~~ \ mbox {in} ~~ (0, \ ell) \ times (0, \ infty), \\ u (0, t) & = & u (\ ell, t) ~~ \ mbox {on} ~~ (0, \ infty), \\ u (x, 0) & = & \ sin x, ~ u_t (x, 0) = \ cos x ~~ \ mbox {on} ~~ (0, \ ell) \ จบ {eqnarray}

ลองของฉัน:

ฉันใช้การแยกตัวแปรโดยตรงฉันไม่สามารถรับการเปลี่ยนแปลงได้ดังนั้นจึงสามารถแปลงเป็นได้ $$w_{tt} = w_{xx}$$และฉันแก้ไขเวลาที่สององศา ODE โดยใช้สมการลักษณะเฉพาะ ฉันใช้เงื่อนไขขอบเขต แต่เมื่อฉันพยายามใช้ intital ฉันไม่แน่ใจว่าจะใช้เงื่อนไขสุดท้ายอย่างไร

แบบฟอร์มของฉันจนถึงตอนนี้หลังจากใช้ BCs: $$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(n\pi x/l)[c_1 e^{\frac t2(1+\sqrt{1-4(\frac{n\pi}{l})^2})} + c_2 e^{\frac t2(1-\sqrt{1-4(\frac{n\pi}{l})^2})}]$$

Answer 1

จนถึงตอนนี้คุณมี

$$ u(x, t) = \sum_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right)\left[ A_n e^{\lambda_+ t} + B_n e^{\lambda_- t} \right] \tag{1} $$

ที่ไหน

$$ \lambda_\pm = \frac{1}{2}\left[1 \pm \sqrt{1 - \left(\frac{2n\pi}{l}\right)^2}\right] $$

ตอนนี้พิจารณาเงื่อนไขเบื้องต้น

$u(x, 0)$

แทนที่ใน (1) ที่คุณได้รับ

$$ \sin x = \sum_n \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) [A_n + B_n] $$

และจากที่นี่

\ เริ่มต้น {eqnarray} \ int_0 ^ l {\ rm d} x ~ \ sin \ left (\ frac {m \ pi x} {l} \ right) \ sin x & = & \ sum_n [A_n + B_n] \ int_0 ^ l {\ rm d} x ~ \ sin \ left (\ frac {n \ pi x} {l} \ right) \ sin \ left (\ frac {m \ pi x} {l} \ right) \\ & = & \ sum_ {n} [A_n + B_n] \ left (\ frac {l} {2} \ delta_ {mn} \ right) \\ & = & \ frac {l} {2} (A_m + B_m) \ \ & = & \ frac {lm \ pi} {l ^ 2 - m ^ 2 \ pi ^ 2} \ cos (m \ pi) \ sin l \\ & = & (-1) ^ m \ frac {lm \ pi} {l ^ 2 - m ^ 2 \ pi ^ 2} \ sin l \ end {eqnarray}

ดังนั้นโดยสรุป

$$ A_m + B_m = (-1)^m\frac{2 m \pi}{l^2 - m^2\pi^2} \sin l \tag{2} $$

$u_t(x, 0)$

ฉันจะทิ้งสิ่งนี้ไว้ให้คุณคุณควรได้รับสิ่งที่ชอบ

$$ \lambda_+ A_m + \lambda_- B_m = \cdots \tag{3} $$

สมการ (2) และ (3) สามารถแก้ไขได้เพื่อค้นหา $A_n$ และ $B_n$