สมการสำหรับสตริงนิ่ง

Question

ฉันมีข้อสงสัยบางประการเกี่ยวกับการได้มาของ EOM ของสตริงที่อยู่กับที่

ปล่อย $F_x, F_y$ เป็นความตึงเครียดในแนวนอนและแนวตั้งของสตริง
$\mu$ เป็นมวลต่อหน่วยความยาวของสตริง [kg / m]

$$\frac{F_{2y}}{F_{2x}} = \tan\theta_+ = y'(x + dx)$$ $$\frac{F_{1y}}{F_{1y}} = \tan\theta_- = y'(x)$$ $$dm = \mu dx$$ ไม่มีแรงสุทธิ $$F_{1x} = F_{2x} = F$$ $$F_{2y} - F_{1y} = gdm = \mu gdx$$ $$F(y'(x + dx) - y'(x)) = \mu gdx$$ $$F\frac{d^2y}{dx^2} = \mu g$$

การแก้ปัญหาให้ $$y = \frac{\mu g}{2F}x^2 + Ax + B$$

ฉันยังใหม่กับแคลคูลัสดังนั้นฉันจึงมีคำถามโปรดอธิบายด้วยวิธีที่มือใหม่สามารถเข้าใจได้ขอบคุณ!:

1. ทำไมเราถึงใช้ $dm = \mu dx$ แทน $dm = \mu \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$ที่นี่? เพราะดูเหมือนว่าสำหรับฉัน$\mu \cdot dx$ไม่ได้อธิบายมวล ณ จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้งแต่$\mu \cdot ds$ ทำ.
2. เชือกที่ปลายทั้งสองข้างเรียกว่าcatenaryซึ่งไม่ใช่พาราโบลาไม่ใช่หรือ? แล้วทำไมในกรณีนี้จึงเป็นพาราโบลา? อะไรคือความแตกต่างระหว่าง catenary และกราฟนี้?

ฉันอาจจะทำผิดแนวคิดพื้นฐานไปบ้างเพราะตอนนี้ฉันเรียนรู้ด้วยตนเองเป็นส่วนใหญ่ ดังนั้นโปรดช่วยฉันคลายข้อสงสัย

Answer 1

$$\newcommand{\md}{\mathrm{d}}$$ใช่คุณถูก. ในกรณีทั่วไปเราต้องใช้$\md m = \mu\, \md s$สำหรับมวลขององค์ประกอบเล็ก ๆ น้อย ๆ ของเชือก โดยพื้นฐานแล้วสิ่งที่สมการกล่าวคือมวลของส่วนเล็ก ๆ ของเชือกมีค่าเท่ากับมวลต่อหน่วยความยาวคูณความยาวของส่วนเล็ก ๆ

ฉันไม่รู้ว่าคุณได้ต้นกำเนิดมาจากไหน แต่อาจใช้ $\md m = \mu\, \md x$สำหรับมวลเพราะพวกเขาสันนิษฐานว่าเชือกหย่อนลงน้อยมาก (พวกเขาอาจจะพูดอย่างนั้นฉันขอแนะนำให้คุณอ่านคำอธิบายของพวกเขาอย่างใกล้ชิดเพื่อดูว่าพวกเขาตั้งสมมติฐานไว้อย่างไร)

ถ้าเชือกเกือบตึง (เช่นเล็กน้อยหรือไม่หย่อนคล้อย) แล้ว $\sqrt{1 + \left( \dfrac{\md y}{\md x}\right)^2}\, \md x \approx 1 \,\md x$ซึ่งหมายความว่า $\md s \approx \md x$.

โซ่เป็นชื่อที่กำหนดให้สมการของแบบฟอร์ม$$y = a\cosh \left(\dfrac{x}{a}\right)$$

ที่ไหน $\cosh x$ คือฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกโคไซน์ซึ่งกำหนดเป็น $$\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$$

มันแตกต่างจากพาราโบลาดังที่เราเห็นได้จากกราฟด้านล่าง:

ในกราฟ $y = \cosh x$ จะแสดงเป็นสีแดงและ $y = x^2$ เป็นสีน้ำเงิน

นี่คืออีกกราฟที่แสดงให้เห็นว่าพาราโบลาเป็นค่าประมาณของโซ่ได้อย่างไรถ้า "ลดลง" มีขนาดค่อนข้างเล็ก:

ที่นี่ $y = \cosh x$ เป็นสีแดงอีกครั้ง แต่สมการของเส้นโค้งสีน้ำเงินคือ $y = \dfrac{1}{2}x^2 + 1$. อย่างที่เราเห็นถ้า$x$ อยู่ใกล้กับ $0$จากนั้นพาราโบลาเป็นค่าประมาณที่ดีพอสมควรของโซ่