Smooth Jordan-Schönflies Curve Theorem

Question

Jordan-Schönflies Curve Theorem ระบุ:

สำหรับโค้งปิดธรรมดา ๆ $\sigma$ ในเครื่องบินมี homeomorphism $H$ ของระนาบที่นำเส้นโค้งนั้นเข้าสู่วงกลมมาตรฐาน

คำถาม:ถ้า$\sigma$ คือ $C^k$ โค้งปิดธรรมดาเราเลือกได้ไหม $H$ จะเป็น $C^k$ diffeomorphism?

ฉันพยายามพิสูจน์ว่าถ้า $Ran(\sigma)$ คือขอบเขตโทโพโลยีของเซตเปิดที่มีขอบเขต $U$แล้ว $\overline{U}$ คือ $C^k$ มากมายที่มีขอบเขตซึ่งมีขอบเขตที่หลากหลายตรง $Ran(\sigma)$. ( แก้ไข:ฉันยังพบข้อพิสูจน์ทางเลือกโดยใช้ทฤษฎีบท Jordan-Brouwer Separation Theorem ที่ราบรื่นในโพสต์นี้: Differentiable Version ของ Jordan-Brouwer Separation Theorem )

Answer 1

ใช่คุณสามารถ.

ก่อนอื่นคุณต้องมีส่วนขยายที่สำคัญของ Riemann Mapping Theorem (โดยPainlevè, Kellog, Warschawski - ขออภัยฉันไม่มีข้อมูลอ้างอิงอยู่ในมือ แต่ฉันเชื่อว่าสามารถพบได้ง่ายทางออนไลน์) ที่บอกว่า biholomorphism ของการตกแต่งภายในแบบเปิดของ a จอร์แดนโค้งไปยังดิสก์ยูนิตเปิดที่อยู่ตรงกลางที่จุดกำเนิดขยายต่อเนื่องไปถึง a $C^k$ แผนที่ของขอบเขตในกรณีที่ขอบเขตเป็นก $C^k$ เส้นโค้งจอร์แดน

ใช้ส่วนขยายด้านบนก่อนกับด้านในของเส้นโค้งใน $\mathbb{C}$ จากนั้นไปยังภายนอกที่อัดแน่นในทรงกลม Riemann $\widehat{\mathbb{C}}$ และคุณจะได้รับไฟล์ $C^k$-diffeomorphism ตามต้องการ

$$\underline{Remarks}$$ biholomorphisms ทั้งสองจะแตกต่างกันใน $C^k$เส้นโค้งปิดอย่างง่ายโดยมากถึง diffeomorphism แต่โดยเคล็ดลับของอเล็กซานเดอร์ (รุ่นที่ราบรื่น) ความแตกต่างนั้นสามารถขยายไปสู่ความแตกต่างของดิสก์ยูนิตแบบเปิดซึ่งเมื่อเขียนอย่างเหมาะสมด้วยพูด$H_1$ - biholomorphism ของการตกแต่งภายใน - จะให้ความแตกต่างที่สอดคล้องกับขอบเขตกับสิ่งนั้นหรือ $H_2$.