สนทนากับ Hurwitz Theorem

Question

นี่คือปัญหาที่ 17 จากบทที่ 14 ของ Papa Rudin

สมมติว่าเรามีภูมิภาค $\Omega$ (เปิดส่วนย่อยที่เชื่อมต่อของเครื่องบิน) และบางส่วน $f_n$ ที่เป็นโฮโลมอร์ฟิก $\Omega$ และมาบรรจบกันเป็น $f$ สม่ำเสมอบนชุดย่อยขนาดกะทัดรัดของ $\Omega$ ที่ไหน $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

แก้ไข $K \subset \Omega$ ที่ไหน $K$มีขนาดกะทัดรัด เป็นไปได้สำหรับ$f_n$ จะไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งเมื่อถูก จำกัด ไว้ที่ $K$เหรอ?

ขอบคุณล่วงหน้า!

Answer 1

ร่างหลักฐาน:

ผลลัพธ์ถูกต้องในคอมแพค (มีลำดับที่ไม่ใช่การฉีด แต่เฉพาะในชุดเปิดเต็มรูปแบบเมื่อคุณแก้ไขขนาดกะทัดรัดพวกมันจะกลายเป็นแบบฉีดในที่สุด) - แนวคิดคือการพิจารณากรณีแรก $K$ คือการปิดโดเมนจอร์แดนและสมมติว่า (ส่งผ่านไปยังภายหลัง ฯลฯ ) $f_n(z_n)=f_n(w_n)=a_n \to a$ ที่ไหน $z_n \to y, w_n \to w$ก่อนอื่น $f(y)=f(w)$ ด้วยเหตุนี้ $y=w$ และตั้งแต่นั้นมา $f(w)=a$ พิจารณาจำนวนคดเคี้ยวของ $f-a$ รอบวงกลมเล็ก ๆ ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ $w$ (ซึ่งเป็น $1$) ดังนั้นในที่สุดก็เป็นจริงสำหรับ $f_n-a$

แต่ตอนนี้กำลังเลือกวงกลมเล็ก ๆ ของรัศมี $\epsilon$ รอบ ๆ $w$ และ $|f(\zeta)-a| \ge 2\delta>0, |\zeta-w|=\epsilon$โดยการบรรจบกันแบบสม่ำเสมอ $|f_n(\zeta)-a| \ge \delta>0, n \ge n(\delta), |\zeta-w|=\epsilon$ ดังนั้นการเลือกไฟล์ $n$ ซึ่ง $|a_n-a| < \delta/2, |z_n-w|, |w_n-w| <\epsilon$ เราสามารถใช้ Rouche และ $f_n-a_n, f_n-a$ มีจำนวนศูนย์เท่ากันในแผ่นดิสก์ของศูนย์ $w$ และรัศมี $\epsilon$ ด้วยเหตุนี้ $f_n-a$ มีจำนวนคดเคี้ยวอย่างน้อย $2$ และนั่นคือความขัดแย้ง

เพื่อให้ได้จากคอมแพคทั่วไปไปเป็นแบบด้านบนให้ "ล้อม" ด้วยเส้นโค้งจอร์แดนที่สวยงาม $J$ ที่อยู่ใน $\Omega$ก็เพียงพอแล้วที่จะแสดงให้เห็นว่า $f_n$ ในที่สุดก็ฉีดเข้าไปที่ภายในของ $J$

ตัวอย่างเช่น $(1-z)^2$ ถูกฉีดลงบนแผ่นดิสก์หน่วยเปิดและ $(1-1/n)-z)^2 \to (1-z)^2$ สม่ำเสมอบนคอมแพค แต่จะใช้ค่าเดียวกันเมื่อ $z+w=2-2/n$ และสิ่งนั้นสามารถเกิดขึ้นได้อย่างชัดเจน $|w|,|z|<1$ แต่สำหรับคอมแพคใด ๆ ภายในดิสก์หน่วยความสัมพันธ์นั้นไม่สามารถเติมเต็มจากบาง $n$ บน