สร้างแผนที่บนผลิตภัณฑ์ภายนอก
ปล่อย $V, W$ เป็นเวกเตอร์ช่องว่างสองช่องบนเขตข้อมูล $F$. เป็นที่ทราบกันดีว่าหาก$f \colon V \rightarrow W$ คือการแปลงเชิงเส้นที่เราสามารถทำให้เกิดแผนที่เชิงเส้นบนผลิตภัณฑ์ภายนอกได้ $\Lambda^kf \colon \Lambda^k V \rightarrow \Lambda^k W$ เพียงแค่ตั้งค่า $\Lambda^kf(v_1\wedge \dots \wedge v_k)=f(v_1)\wedge \dots \wedge f(v_k)$.
แต่คำถามของฉันคือถ้าเรามี $k$- แผนที่เชิงเส้น $f_1, \dots, f_k\colon V \rightarrow W$ เราสามารถทำให้เกิดการแปลงเชิงเส้นได้หรือไม่ $\Lambda^k V \rightarrow \Lambda^k W$ เกี่ยวข้องกับพวกเขาทั้งหมด?
ลองใช้กรณีง่าย ๆ $k=2$ พร้อมแผนที่ $f=f_1$ และ $g=f_2$. ความคิดที่ไร้เดียงสาที่สุดคือการกำหนด$f\wedge g\colon v_1 \wedge v_2 \mapsto f(v_1)\wedge g(v_2)$แต่จะเห็นได้ทันทีว่ายังไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน แล้วฉันก็ว่าด้วยการตั้งค่า$f \wedge g-g \wedge f\colon v_1 \wedge v_2\mapsto f(v_1)\wedge g(v_2)-g(v_1)\wedge f(v_1)$ แต่ด้วยสิ่งนี้เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็น $v_1 \wedge v_2$ และ $v_2 \wedge v_1$ ถูกจับคู่กับค่าเดียวกันในขณะที่ค่าเหล่านี้ควรอยู่ตรงข้ามกัน
ความจริงก็คือฉันกำลังจัดการกับสูตรที่เกี่ยวข้องกับชุดค่าผสมเชิงเส้นของ $\Lambda^k f_i$ สำหรับต่างๆ $f_i$และฉันต้องการแสดงออกในทางที่ดี ตัวอย่างเช่น take$V=W=F^n$ ดังนั้น $f_i$เป็นเพียง $n \times n$เมทริกซ์ เมื่อไหร่$n=2$ฉันต้องศึกษาสูตร\ begin {สมการ} \ frac {1} {2} \ biggl (tr \ Lambda ^ 2 (f_1 + f_2) -tr \ Lambda ^ 2f_1-tr \ Lambda ^ 2 f_2 \ biggr) \ end {สมการ}
เพื่อความเข้มงวดคุณสามารถตอบได้ว่าถ้าฉันลบร่องรอยออกจากสูตรนี้ฉันจะได้การแปลงเชิงเส้น $\Lambda^2 V \rightarrow \Lambda^2W$ ที่เกี่ยวข้องกับ $f_1$ และ $f_2$ตามที่ฉันถาม แต่ฉันสนใจวิธีทำให้สูตรดังกล่าวดีขึ้น
คำตอบ
วิธีหนึ่งที่ทำได้คือการกำหนด
$$ (f_1 \wedge \dots \wedge f_k)(v_1 \wedge \dots \wedge v_k) := \sum_{\sigma \in S_k} (-1)^{\sigma} f_1(v_{\sigma(1)}) \wedge \dots \wedge f_k(v_{\sigma(k)}). $$
คุณสามารถตรวจสอบได้โดยตรงว่ามีการกำหนดไว้เป็นอย่างดีและเป็นอย่างนั้น $\underbrace{f \wedge \dots \wedge f}_{k \textrm{ times}} = k! \cdot \Lambda^k(f)$. สำหรับ$k = 2$, คุณได้รับ
$$ (f \wedge g)(v_1 \wedge v_2) = f(v_1) \wedge g(v_2) - f(v_2) \wedge g(v_1). $$
แล้ว
$$ 2 \cdot \Lambda^2(f_1 + f_2) = (f_1 + f_2) \wedge (f_1 + f_2) = f_1 \wedge f_1 + 2 f_1 \wedge f_2 + f_2 \wedge f_2 \\= 2 \left( \Lambda^2(f_1) + f_1 \wedge f_2 + \Lambda^2(f_2) \right)$$
ดังนั้น
$$ \Lambda^2(f_1 + f_2) - \Lambda^2(f_1) - \Lambda^2(f_2) = f_1 \wedge f_2 $$
และการแสดงออกของคุณเป็นเพียงครึ่งเดียวของ $f_1 \wedge f_2$.
หมายเหตุ : นี่อาจดูเหมือนเป็นคำจำกัดความเฉพาะกิจ แต่จริงๆแล้วมันค่อนข้างเป็นธรรมชาติจากมุมมองบางอย่าง สมมติ$V,W$ มีมิติ จำกัด เรามี $\operatorname{Hom}(\Lambda(V), \Lambda(W)) \cong \Lambda(V^{*}) \otimes \Lambda^{*}(W)$. ทั้งสอง$\Lambda(V^{*})$ และ $\Lambda(W)$ เป็นอัลเจบราที่ให้คะแนนดังนั้นผลิตภัณฑ์เทนเซอร์จะสืบทอดการคูณตามธรรมชาติที่กำหนดโดย
$$ (\mu_1 \otimes \eta_1) \wedge (\mu_2 \otimes \eta_2) := (\mu_1 \wedge \mu_2) \otimes (\eta_1 \wedge \eta_2), \,\,\, \mu_i \in \Lambda(V^{*}), \eta_i \in \Lambda(W). $$
พีชคณิตสองระดับที่ได้รับเรียกว่าพีชคณิตภายนอกแบบผสมในบางครั้ง มีอยู่ในสำเนาของ$\Lambda(V^{*})$ และ $\Lambda(W)$. หากคุณระบุแผนที่$f,g \colon V \rightarrow W$ เช่น $(1,1)$ องค์ประกอบของพีชคณิตภายนอกแบบผสมใช้ผลิตภัณฑ์และระบุผลลัพธ์ $(2,2)$ องค์ประกอบที่มีแผนที่จาก $\Lambda^2(V)$ ถึง $\Lambda^2(W)$คุณได้คำจำกัดความที่ฉันให้ไว้ในตอนต้นของคำตอบ