สรุปสมการทวินาม
ฉันสงสัยว่าการสรุปกรณี $p=2$ เรามีเพื่อ $1<p<\infty$ ว่ามีค่าคงที่ $c(p,l)$ เช่นนั้นสำหรับทุกคน $(z_j)$ ด้วย $z_j \in \mathbb C$ ที่
$$\left\lvert \left\lvert \sum_{j=1}^l z_j \right\rvert^p - \sum_{j=1}^l \left\lvert z_j \right\rvert^p \right\rvert \le c(p,l) \sum_{j \neq k} \vert z_j \vert \vert z_k \vert^{p-1}$$
ในกรณี $p=2$ ฉันมองเห็นได้อย่างชัดเจน แต่ที่นี่ฉันไม่รู้
คำตอบ
สมมติว่าไม่ใช่ทั้งหมด $z_i$เป็นศูนย์ โดยไม่ต้องสูญเสียทั่วไปถือว่า$z_1$ มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุดและโดยความเป็นเนื้อเดียวกันสมมติว่า $|z_1| = 1$. ปล่อย$\delta = \sum_{j \geq 2} |z_j|$ดังนั้น $\delta \leq l-1$และโปรดทราบว่า RHS ของอสมการที่ต้องการเป็นอย่างน้อย $c(p, l)\delta|z_1|^{p-1} = c(p, l)\delta$.
มาหาขอบเขตของผลรวมทั้งสองจาก LHS ในรูปของ $\delta$. สำหรับผลรวมแรกโดยอสมการสามเหลี่ยมเรามีเสมอ$0 \leq \left|\sum z_j\right|^p \leq (1 + \delta)^p$, และเมื่อ $\delta \leq 1$, เรามี $(1 - \delta)^p \leq \left|\sum z_j\right|^p$เช่นกัน. ตอนนี้สำหรับใด ๆ$\delta$ เรามี $$(1 + \delta)^p - 1 = \int_0^\delta p(1 + x)^{p-1} \,dx \leq \delta p(1 + \delta)^{p-1},$$ และเมื่อ $\delta \leq 1$, $$1 - (1 - \delta)^p = \int_0^\delta p(1 - x)^{p-1} \,dx \leq \delta p \leq \delta p (1 + \delta)^{p-1}$$ ด้วยเหตุนี้ $|\left|\sum z_j\right|^p - 1| \leq \delta p(1 + \delta)^{p-1}$ ในทุกกรณี
ผลรวมอื่น ๆ เป็นที่พอใจ $1 \leq \sum |z_j|^p \leq \sum |z_j| \leq 1 + \delta$ดังนั้น $\left| \sum |z_j|^p - 1\right| \leq \delta$ดังนั้น LHS ของอสมการที่เราต้องการจึงถูกล้อมรอบด้วย $\delta p(1 + \delta)^{p-1} + \delta \leq pl^{p-1}\delta + \delta$. เนื่องจาก RHS ของเราเป็นอย่างน้อย$c(p, l)\delta$ก็เพียงพอที่จะใช้ $c(p, l) = pl^{p-1} + 1$.
ทางเลือกนี้ของ $c(p, l)$อาจยังห่างไกลจากความเหมาะสม ในกรณีที่ทั้งหมด$z_j = 1$เราเห็นว่า $c(p, l)$ ต้องมีอย่างน้อย $\approx l^{p-2}$และฉันเดาว่านี่ใกล้เคียงกับที่ดีที่สุด