Stone-Weierstrass เหมือนทฤษฎีบท

Question

ปล่อย $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีมูลค่าจริง $[-1,1]$ ดังนั้น $f(x) = f(-x),$ เพื่อทุกสิ่ง $x \in [-1,1].$ แสดงว่าสำหรับทุกๆ $\varepsilon \gt 0$ มีพหุนาม $p(x)$ ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงเหตุผลเช่นนั้นสำหรับทุกๆ $x \in [-1,1],$ $$\left \lvert f(x) - p(x^2) \right \rvert \lt \varepsilon.$$

ฉันจะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร? ความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

ขอบคุณล่วงหน้า.

Answer 1

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้

1. สมมติ $p$ เป็นพหุนามบน $[-1, 1]$ และปล่อยให้ $\varepsilon>0.$ มีพหุนาม $q$ ด้วยค่าสัมประสิทธิ์เชิงเหตุผลเช่นนั้น $\|p-q\|<\varepsilon.$

หลักฐาน. เพื่อดูสิ่งนี้ให้$\deg(p)=n$ และปล่อยให้ $p(z)=a_nz^n+\ldots+a_0.$ เลือกเหตุผล $b_i$ ดังนั้น $|a_i-b_i|<\varepsilon/(n+1).$ ตอนนี้สังเกตว่าสำหรับใด ๆ $x\in [-1, 1]$ เรามี $|p(X)-q(x)|<\varepsilon.$

สิ่งที่สองที่ต้องพิสูจน์คือฟังก์ชันคู่ $f$ สามารถประมาณได้ด้วยพหุนามคู่ใน $x^2.$ ฉันเชื่อ (เพราะความคิดเห็นของคุณ) ว่าคุณไม่มีปัญหาในการแสดงสิ่งนี้

ฉันหวังว่าตอนนี้คุณจะเห็นว่าการอ้างสิทธิ์ของคุณเป็นอย่างไร