Submentary subspaces, คำถามจริง / เท็จ

Aug 15 2020

จริงหรือเท็จ?

$W_1$, $W_2$ และ $W_3$ คือ subspaces จาก vectorspace $V$. ถ้า$W_1 ⊕ W_2 = V$ และ $W_1 ⊕ W_3 = V$ แล้ว $W_2 = W_3$.

จริงๆแล้วฉันมีคำถามเล็ก ๆ น้อย ๆ นี้ที่ถามในการสอบและฉันก็บอกว่ามันเป็นความจริง แต่ฉันกลับบอกว่ามันเป็นเท็จในภายหลัง ใครช่วยอธิบายให้ฉันฟังหน่อยได้ไหมว่าทำไมฉันจึงนึกสังหรณ์ใจในหัวได้ว่ามันผิดจริง จากนั้นฉันก็สามารถหาตัวอย่างตอบโต้ได้

ขอบคุณล่วงหน้า.

คำตอบ

1 MaJoad Aug 15 2020 at 21:35

$W_2$ และ $W_3$ เป็นไอโซมอร์ฟิก แต่อาจไม่ใช่สเปซเดียวกัน

วิธีหนึ่งในการพิจารณานี้คือเลือกพื้นฐานก่อน $B$ ของ $W_1$. มีหลายวิธีในการขยายพื้นฐานนี้ให้เป็นพื้นฐาน$W_1 \oplus W_2$ดังนั้นเวกเตอร์เพิ่มเติมที่เพิ่มเข้ามา $B$ อาจครอบคลุมพื้นที่ย่อยที่แตกต่างกัน

อีกวิธีหนึ่งคือการจินตนาการถึงระบบอัตโนมัติ $\alpha$ ของ $V$, (เช่น $\alpha:V \to V$คือแผนที่เชิงเส้นแบบกลับด้าน) สมมติว่า$W_1$ เป็นพื้นที่ย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงของ $\alpha$. แล้ว$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$ สำหรับทั้งหมดนั้น $\alpha$.

1 Surb Aug 15 2020 at 21:29

มันผิดแน่นอน! คุณมีตัวอย่างเช่นนั้น$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$ แต่ $$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$