สูตร Quintic

Question

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันได้ดูวิดีโอ3blue1brownและฉันได้ดูวิดีโอเกี่ยวกับMonster setในทฤษฎีกลุ่ม ตอนนี้ผมมีคำถามของฉันเกี่ยวกับที่ แต่ส่วนมากฉันอยากรู้เกี่ยวกับสิ่งอื่นที่เขากล่าวถึงคือสม quintic ฉันอาจจะสะกดผิด แต่สิ่งที่ฉันหมายถึงคือสมการหนึ่งขั้นตอนเหนือสมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่นสิ่งที่มีลักษณะดังนี้:$$ 6x^{5}+3x^{4}+3x^{3}+5x+6=0 $$คำถามของฉันคือสูตรสากลสำหรับการแก้สมการแบบนี้คืออะไร และมันมาจากไหน?

Answer 1

ไม่มีสูตรที่จะหารากของพหุนามควินติกทั่วไป Abel-Ruffini Theorem เป็นคำแถลงอย่างเป็นทางการของสิ่งนี้:https://en.m.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem

Answer 2

ไม่มีสูตรทั่วไปในการแก้ quintic แต่การพิสูจน์ว่าไม่มีสูตรดังกล่าวต้องใช้เครื่องจักรบางอย่าง มันเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่มีชื่อเสียงของสาขาพีชคณิตนามธรรมที่เรียกว่าทฤษฎี Galois ดูคำตอบนี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม