สอง qubit state + Depolarizing channel = Bell diagonal state?

Question

ในหลายแหล่งเช่นRGK , KGRก็คือที่ระบุไว้ (โดยไม่ต้องพิสูจน์) ว่าถ้าคุณใช้ใด ๆ ของรัฐสองคิวบิตและส่งผ่านช่องทาง depolarizing รัฐที่เกิดจะเป็นรัฐ Bell-เส้นทแยงมุม ฉันเข้าใจว่าสถานะเบลล์ - ทแยงมุมสองฝ่าย$\rho_{AB}$ มีรูปแบบ:

$$ \rho_{AB} = \lambda_1 |\Psi^+\rangle\langle \Psi^+| + \lambda_2 |\Psi^-\rangle\langle \Psi^-| +\lambda_3 |\Phi^+\rangle\langle \Phi^+| +\lambda_4 |\Phi^-\rangle\langle \Phi^-|, $$ ที่ไหน $|\Psi^+\rangle, |\Psi^-\rangle, |\Phi^+\rangle, |\Phi^-\rangle$เป็นรัฐเบลล์ตามปกติ การดำเนินการของแชนเนลที่ลดขั้ว$\mathcal{E}$ ในสอง qubits ถูกกำหนดให้เป็น:

$$ \mathcal{E}(\rho_{AB}) = \sum_i (E_i \otimes E_i) \rho_{AB} (E_i \otimes E_i)^\dagger, $$ ที่ไหน $E_i \in \{\mathbb{I}, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$เป็นผู้ดำเนินการ Pauli อย่างไรก็ตามฉันไม่เห็นว่าเหตุใดตัวดำเนินการความหนาแน่นของสองฝ่ายใด ๆจะถูกเปลี่ยนเป็นสถานะเบลล์ทแยง มีหลักฐานยืนยันการเรียกร้องนี้หรือไม่?

Answer 1

ประการแรกโปรดทราบว่าทุกสถานะของเบลล์ $|\psi_{ij}\rangle=(|0i\rangle+(-1)^j|1\bar i\rangle)/\sqrt{2}$ เป็นสถานะเฉพาะของ $E_i\otimes E_i$ สำหรับทุกอย่าง $i$ (ค่าลักษณะเฉพาะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง $\pm 1$). ดังนั้นสถานะ Bell-diagonal ยังคงเป็น Bell-diagonal ภายใต้การกระทำของแผนที่ สิ่งนี้ชี้ให้เห็นแล้วว่าสถานะเบลล์ทแยงมุมน่าจะเป็นจุดหมายสูงสุดของแผนที่ แต่ให้เราพิสูจน์

พิจารณาสถานะตามอำเภอใจ $|\Psi\rangle$. สิ่งนี้สามารถย่อยสลายได้ในพื้นฐานของเบลล์$$ |\Psi\rangle=\sum_{i,j}a_{ij}|\psi_{ij}\rangle. $$ เรามี $XX|\psi_{i1}\rangle=-|\psi_{i,1}\rangle$ และ $XX|\psi_{i0}\rangle=|\psi_{i,0}\rangle$. ตัวอย่างเช่นถ้าฉันคำนวณ$$ |\Psi\rangle\langle\Psi|+XX|\Psi\rangle\langle\Psi|XX, $$ จากนั้นสิ่งนี้จะทำให้คำไขว้ใด ๆ เช่น $|\psi_{i0}\rangle\langle\psi_{j1}|$

ในทำนองเดียวกัน $ZZ|\psi_{0i}\rangle=|\psi_{0,i}\rangle$ และ $ZZ|\psi_{1i}\rangle=-|\psi_{1i}\rangle$ดังนั้นคำต่างๆเช่น $|\psi_{0i}\rangle\langle\psi_{1j}|$ก็จะถูกทำให้ล้มลงเช่นกัน ท้ายที่สุดคำศัพท์เดียวที่เหลืออยู่คือ$|\psi_{ij}\rangle\langle\psi_{ij}|$เช่นรัฐเป็นเบลล์ในแนวทแยง

อย่างเคร่งครัดในการรวบรวมทั้งหมดนี้เข้าด้วยกันอย่างรอบคอบคุณต้องการที่จะพูด $$ \rho_x=\rho+XX\rho XX $$ และ $$ \mathcal{E}(\rho)=\rho_x+ZZ\rho_xZZ $$ สองดูว่าขั้นตอนที่แยกจากกันสองขั้นตอนที่ฉันได้ทำเข้ากันได้อย่างไร