Synchrosqueezing Wavelet Transform คำอธิบาย?

Question

Synchrosqueezing Wavelet Transform ทำงานอย่างไรโดยสังหรณ์ใจ? ส่วนที่ "ซิงโครสควีซ" ทำอะไรและแตกต่างจาก Wavelet Transform (ต่อเนื่อง) อย่างไร

Answer 1

Synchrosqueezing เป็นวิธีการกำหนดใหม่ที่มีประสิทธิภาพ ในการทำความเข้าใจกลไกของมันเราจะวิเคราะห์ Wavelet Transform (ต่อเนื่อง) และวิธีแก้ไขข้อผิดพลาดของมัน มีการตีความทางกายภาพและทางสถิติ

ถ้าไม่คุ้นเคยกับ CWT ผมขอแนะนำให้นี้กวดวิชา SSWT จะดำเนินการใน MATLAB เป็นwsstและในหลามssqueezepy (- รหัสคำตอบทั้งหมด)

---

เริ่มต้นด้วย CWT ของโทนเสียงที่บริสุทธิ์:

เส้นตรงในระนาบความถี่เวลา (ค่อนข้างสเกลเวลา) สำหรับไซนัสความถี่คงที่ตลอดเวลา - ยุติธรรม ... ยกเว้นมันเป็นเส้นตรง? ไม่มีมันเป็นวงดนตรีของเส้นศูนย์กลางดูเหมือนจะเกี่ยวกับสูงสุดบางโอกาส "ขนาดที่แท้จริง" ซูม

ทำให้สิ่งนี้เด่นชัดขึ้น มาพล็อตแถวภายในวงที่ซูมนี้ทีละแถว:

และซ้อนทับทั้งหมดสำหรับตัวอย่าง 0 ถึง 127 (การซูมแนวนอน):

สังเกตเห็นอะไรที่น่าสนใจ? พวกเขาทั้งหมดมีความถี่เดียวกัน ไม่เฉพาะกับไซน์นี้ แต่เป็นวิธีการทำงานของ CWT ในการเชื่อมโยงเวฟเล็ตกับสัญญาณ

ปรากฏข้อมูลส่วนใหญ่ "ซ้ำ"; มีความซ้ำซ้อน เราจะใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้ได้หรือไม่? ถ้าเราสมมติว่าจริงๆแล้ววงดนตรีที่อยู่ติดกันทั้งหมดนี้เกิดจากวงดนตรีวงเดียวและวงเดียวกันเราก็สามารถรวมพวกมันเข้าเป็นวงเดียวได้และนี่คือสิ่งที่ซิงโครควีซิงทำ โดยธรรมชาติแล้วมันซับซ้อนกว่านี้โดยมีข้อแม้ แต่แนวคิดพื้นฐานคือเรารวมส่วนประกอบของความถี่ทันทีเดียวกันเพื่อให้ได้การแสดงความถี่เวลาที่คมชัดขึ้น

นี่คือ CWT เดียวกันที่ซิงโครไนซ์:

ตอนนี้ที่เป็นเส้นตรง

---

มันทำงานอย่างไร?

เรามีความคิด แต่สูตรทางคณิตศาสตร์นี้เป็นอย่างไร? ได้รับแรงบันดาลใจจากการระบุลำโพงและการสลายตัวของโหมดเชิงประจักษ์ SSWT สร้างขึ้นจากรูปแบบการมอดูเลต :

$$ f(t) = \sum_{k=1}^{K} A_k(t) \cos(\phi_k (t)), \tag{1} $$

ที่ไหน $A_k(t)$ คือแอมพลิจูดทันทีและ

$$ \omega_k(t) = \frac{d}{dt}(\phi_k(t)) \tag{2} $$

ความถี่ของส่วนประกอบทันที $k$ที่เราแสวงหา $K$"ส่วนประกอบ" ดังกล่าวที่รวมเข้ากับสัญญาณดั้งเดิม เพิ่มเติมด้านล่างนี้ "MM vs FT"

ในขั้นตอนนี้เรามีเพียง CWT $W_f(a, b)$(a = scale, b = timeshift); เราจะแยกอย่างไร$\omega$จากมัน? ทบทวนพล็อตโทนสีบริสุทธิ์ที่ซูม อีกครั้ง$b$- ความเป็นอิสระรักษาความผันผวนของฮาร์มอนิกเดิมที่ความถี่ที่ถูกต้องโดยไม่คำนึงถึง$a$. สิ่งนี้แนะนำให้เราคำนวณสำหรับสิ่งใด ๆ$(a, b)$, ความถี่ทันทีผ่าน

$$ \omega(a, b) = -j[W_f(a, b)]^{-1} \frac{\partial}{\partial b}W_f(a, b), \tag{3} $$

ที่เราได้ดำเนินการเข้าสู่ระบบอนุพันธ์ ,$f' / f$. หากต้องการดูสาเหตุเราสามารถแสดง CWT ของ$f(t)=A_0 \cos (\omega_0 t)$ คือ:

$$ W_f(a, b) = \frac{A_0}{4 \pi} \sqrt{a} \overline{\hat{\psi}(a \omega_0)} e^{j b \omega_0} \tag{4} $$

และทำให้เกิดการแตกต่างกันบางส่วน $b$เราแยก $\omega_0$และส่วนที่เหลือใน (3) จะถูกแบ่งออก (“ แต่ถ้า$f$ ดีน้อยกว่า? "- ดูคำเตือน)

สุดท้ายติดตั้ง $\omega (a, b)$เราถ่ายโอนข้อมูลจากไฟล์ $(a, b)$- เครื่องบินไปยังไฟล์ $(\omega, b)$ เครื่องบิน:

$$ \boxed{ S_f (\omega_l, b) = \sum_{a_k\text{ such that } |\omega(a_k, b) - w_l| \leq \Delta \omega / 2} W_f (a_k, b) a_k^{-3/2}} \tag{5} $$

ด้วย $w_l$ เว้นระยะห่างโดย $\Delta w$และ $a^{-3/2}$ สำหรับการทำให้เป็นมาตรฐาน (ดู "หมายเหตุ")

และที่เกี่ยวกับมัน โดยพื้นฐานแล้วให้ใช้ CWT ของเราและกำหนดใหม่อย่างชาญฉลาด

---

แล้ว "ส่วนประกอบ" อยู่ที่ไหน? - สกัดจากเส้นโค้งมูลค่าสูง (สันเขา) ในระนาบ SSWT ในกรณีโทนสีล้วนเป็นบรรทัดเดียวและ$K=1$. ตัวอย่างเพิ่มเติม ; เราเลือกส่วนหนึ่งของเครื่องบินและพลิกกลับหลาย ๆ ครั้งตามต้องการ

---

Modulation Model เทียบกับ Fourier Transform :

อะไร $(1)$ทั้งหมดเกี่ยวกับและทำไมไม่ใช้เพียงแค่ FT? พิจารณาลูกตุ้มที่แกว่งโดยมีระยะเวลาคงที่และการทำให้หมาด ๆ คงที่และค่า FT:

$$ s(t) = e^{-t} \cos (25t) u(t)\ \Leftrightarrow\ S(\omega) = \frac{1 + j\omega}{(1 + j\omega)^2 + 625} $$

Fourier Transform บอกอะไรเราบ้าง? ความถี่มากมายไม่ จำกัดแต่อย่างน้อยที่สุดก็อยู่ที่ความถี่จริงของลูกตุ้ม นี่เป็นคำอธิบายทางกายภาพที่สมเหตุสมผลหรือไม่? แทบจะไม่ (เฉพาะในความรู้สึกทางอ้อมบางอย่าง); ปัญหาคือ FT ใช้ความถี่ไซน์ไซน์ที่ซับซ้อนแอมพลิจูดคงที่เป็นส่วนประกอบพื้นฐาน (ฟังก์ชันพื้นฐานหรือ "ฐาน") ในขณะที่ที่นี่เรามีแอมพลิจูดตัวแปรที่ไม่สามารถแสดงด้วยความถี่คงที่ได้อย่างง่ายดายดังนั้น FT จึงถูกบังคับให้ "ชดเชย" ด้วย "ความถี่" เพิ่มเติมเหล่านี้

สิ่งนี้ไม่ จำกัด เฉพาะการมอดูเลตแอมพลิจูด ยิ่งฟังก์ชันซายน์น้อยลงหรือไม่เป็นระยะเท่าไหร่ก็ยิ่งมีความหมายน้อยกว่าสเปกตรัม FT ของมัน (แม้ว่าจะไม่เสมอไป) ตัวอย่างง่ายๆ: คลื่นสามเหลี่ยม 1Hz ความถี่ FT หลายตัว การมอดูเลตความถี่ก็ทนทุกข์เช่นเดียวกัน สัญชาตญาณเพิ่มเติมที่นี่

นี่คือข้อผิดพลาดที่ Modulation Model มีจุดมุ่งหมายเพื่อแก้ไข - โดยการแยกแอมพลิจูดและความถี่ออกจากสัญญาณทั่วโลกในช่วงเวลาหนึ่งแทนที่จะถือว่าแอมพลิจูดและความถี่เท่ากัน (และคงที่!)

ในขณะเดียวกัน SSWT - ความสมบูรณ์แบบ:

---

การซิงโครสเควซเป็นเวทมนตร์หรือไม่?

ดูเหมือนว่าเราจะได้รับมากจาก ssqueezing ซึ่งเป็นความละเอียดความถี่ที่สมบูรณ์แบบซึ่งเป็นการละเมิดความไม่แน่นอนของ Heisenberg และการตัดเสียงรบกวนบางส่วน ("Notes") เป็นเช่นนี้ได้อย่างไร?

ก่อน เราถือว่า $f(t)$ ถูกจับโดยไฟล์ $A_k(t) \cos(\phi_k (t))$ส่วนประกอบต่างๆเช่นขึ้นอยู่กับความรู้ของเราเกี่ยวกับกระบวนการทางกายภาพที่เป็นรากฐาน ในความเป็นจริงเราถือว่ามากกว่านั้นมากแสดงให้เห็นในภายหลัง แต่แนวคิดก็คือสิ่งนี้ใช้ได้ดีกับส่วนย่อยของสัญญาณที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

แน่นอนว่ามีหลายวิธีที่การซิงโครควีซจะผิดปกติและยิ่งอินพุตเป็นไปตามสมมติฐานของ SSWT (ซึ่งไม่ จำกัด เกินไปและสัญญาณจำนวนมากก็เป็นไปตามธรรมชาติ) ผลลัพธ์ก็จะยิ่งดีขึ้น

---

สมมติฐานของ SSWT คืออะไร? (จะล้มเหลวเมื่อไหร่?)

นี่เป็นหัวข้อของตัวเอง (ซึ่งฉันอาจโพสต์ในภายหลัง) แต่โดยย่อสูตรมีดังนี้ ประการแรกโปรดทราบว่าเราต้อง จำกัด อะไรบ้าง$A(t)$ และ $\psi(t)$ สามารถเป็นอย่างอื่นตัวอย่างเช่น $A(t)$ก็สามารถยกเลิกโคไซน์และกลายเป็นฟังก์ชันอื่นได้ อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นส่วนประกอบจะต้องเป็นเช่นนั้น:

ข้อมูลเพิ่มเติมในการอ้างอิง 2

---

จะดำเนินการอย่างไร? ขณะนี้มีรหัส Pythonสะอาดและแสดงความคิดเห็น โดยไม่คำนึงถึงมูลค่า noting:

1. สำหรับค่าสัมประสิทธิ์ CWT มีขนาดเล็กมากเฟสจะไม่เสถียร (เช่นเดียวสำหรับ DFT) ซึ่งเราทำงานไปรอบ ๆ โดยzeroingสัมประสิทธิ์ดังกล่าวทั้งหมดกว่าเกณฑ์ที่กำหนด
2. สำหรับแถว / ถังความถี่ใด ๆ $w_l$ ในเครื่องบิน SSWT เรากำหนดใหม่จาก $W_f(a, b)$ขึ้นอยู่กับสิ่งที่ใกล้เคียงที่สุด $w_l$ ตาม $\omega (a, b)$และสำหรับ CWT บันทึกการปรับขนาดที่เราใช้เข้าสู่ระบบทางไกล

---

สรุป :

SSWT เป็นเครื่องมือวิเคราะห์ความถี่เวลา CWT จะดึงข้อมูลความถี่ของเวลาและการซิงโครสควีซที่กำหนดใหม่อย่างชาญฉลาด - ให้การแสดงที่กระจัดกระจายคมชัดขึ้นเสียงรบกวนและการแสดงบางส่วน ความสำเร็จของการซิงโครควีซิงขึ้นอยู่กับและอธิบายโดยก่อนหน้านี้ ยิ่งข้อมูลเป็นไปตามสมมติฐานมากเท่าใดผลลัพธ์ก็ยิ่งดีขึ้นเท่านั้น

---

หมายเหตุและข้อควรระวัง :

• เกิดอะไรขึ้นถ้า $f$ ไม่ดีใน $\omega(a, b)$ตัวอย่าง? คำถามที่ถูกต้อง ; ในทางปฏิบัติยิ่งฟังก์ชันตรงตามสมมติฐานดังกล่าวมากเท่าใดปัญหาก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้นดังที่ผู้เขียนแสดงให้เห็นผ่านคำศัพท์ต่างๆ
• ใน SSWT ของลูกตุ้มที่ทำให้ชื้นฉันโกงเล็กน้อยโดยการขยายเวลาของสัญญาณเป็น $(-2, 6)$; นี่เป็นเพียงการป้องกันผลกระทบจากขอบเขตซึ่งเป็นปรากฏการณ์ CWT ที่สามารถแก้ไขได้ นี่คือ0 ถึง 6โดยตรง
• ตัดเสียงรบกวนบางส่วน? แท้จริง; ดูหน้า 536 ของ ref 1
• คืออะไร $a^{-3/2}$ ใน $(5)$เหรอ? ได้อย่างมีประสิทธิภาพ Synchrosqueezing ตีความ $W_f$ไปยังระนาบที่กำหนดใหม่โดยใช้iCWT หนึ่งอินทิกรัล
• “ ฟูเรียร์ไม่ดี?” การเปรียบเทียบก่อนหน้านี้ของฉันมีแนวโน้มที่จะวิพากษ์วิจารณ์ เพื่อความชัดเจน FT เป็นพื้นฐานที่มั่นคงและมีวัตถุประสงค์ทั่วไปที่สุดที่เรามีสำหรับกรอบสัญญาณ แต่มันไม่ใช่สิ่งที่ดีที่สุดสำหรับทุกวัตถุประสงค์ สิ่งปลูกสร้างอื่น ๆ มีความหมายและมีประโยชน์มากกว่าขึ้นอยู่กับบริบท

---

เรียนรู้เพิ่มเติมได้ที่ไหน?

เอกสารอ้างอิงเป็นแหล่งที่มาที่ดีเช่นเดียวกับ MATLAB wsstและcwtเอกสารและssqueezepyซอร์สโค้ดของ ฉันอาจเขียนคำถามเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำถามและคำตอบซึ่งคุณสามารถแจ้งให้ทราบได้โดยการย่อยชุดข้อความนี้

---

อ้างอิง :

1. การบีบ CWT แบบไม่เป็นเชิงเส้นตามแบบจำลองประสาทหู - I. Daubechies, S. กระดาษต้นกำเนิดที่ยอดเยี่ยมพร้อมสัญชาตญาณสั้น ๆ
2. Synchrosqueezed Wavelet Transforms: เครื่องมือสำหรับการสลายตัวของโหมดเชิงประจักษ์ - I. Daubechies, J. Lu, HT Wu กระดาษติดตามผลที่ดีพร้อมตัวอย่าง
3. อัลกอริธึม Synchrosqueezing สำหรับการวิเคราะห์สเปกตรัมที่แปรผันตามเวลา: คุณสมบัติความทนทานและการใช้งาน Paleoclimate ใหม่ - G.Thakur, E. Brevdo, et al. การสำรวจคุณสมบัติความทนทานและรายละเอียดการใช้งานเพิ่มเติม (รวมถึงการตั้งค่าขีด จำกัด )