ทำไม $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

ให้ A เป็นเมทริกซ์ที่ไม่ใช่กำลังสอง เหตุใดความเท่าเทียมกันต่อไปนี้จึงเป็นจริง

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

พยายาม:

เนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม $X$คือส่วนต่างของค่าลักษณะเฉพาะของ $X^{-1}$, เรามี:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

ฉันมีสิ่งต่อไปนี้:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

สิ่งที่คุณต้องการพิสูจน์นั้นค่อนข้างง่ายและเป็นจริงสำหรับเมทริกซ์กำลังสองทั้งหมดไม่ใช่เฉพาะในรูปแบบ $A^TA$. $\nu$ เป็นค่าเฉพาะของ $P$ iff $1-\nu$ เป็นค่าเฉพาะของ $I-P$. ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะของ$I-P$ เป็นของแบบฟอร์ม $\nu=1-\lambda$ ที่ไหน $\lambda$ เป็นค่าเฉพาะของ $P$. ขั้นต่ำ$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ ตั้งแต่ $1-\lambda$ จะย่อเล็กสุดเมื่อ $\lambda$ สูงสุด