ทำไมจะ $1^{-\infty}$ ไม่เป็น 1?

Question

ดูเหมือนว่าฉันจะเป็นอย่างนั้น $1^{-∞}=\lim_\limits{x→∞}1^{-x}=\lim_\limits{x→∞}\frac1{1^x}=\frac11=1$ไม่ว่าเราจะเข้าใกล้อย่างไร อย่างไรก็ตามWolfram Alpha ตอบคำถามอย่างลึกลับอย่างไม่มีเงื่อนไข“$\text{(undefined)}$”. ในทำนองเดียวกันJavaScript ก็คิดว่าผลลัพธ์ไม่ใช่ตัวเลข ในทางกลับกันภาษาAPL ที่มีความโน้มเอียงทางคณิตศาสตร์มากทั้งNARS2000และJต่างก็ให้ $1$.

มีเหตุผลอะไรบ้างที่จะปฏิเสธ $1^{-∞}=1$เหรอ?

Answer 1

ตั้งแต่เมื่อใด $x$ เรามี $1^x=1$ อย่างที่คุณสังเกตเห็น

$$\lim_{x\to -\infty} 1^x =\lim_{x\to -\infty} 1=1$$

และคุณมีสิทธิ์อย่างสมบูรณ์ แต่ในฐานะ $f(x)\to 1$

$$\lim_{x\to -\infty} \left(f(x)\right)^x $$

เป็นรูปแบบที่ไม่แน่นอนนั่นคือเราสามารถได้รับผลลัพธ์ใด ๆ ขึ้นอยู่กับลักษณะของ $f(x)$.

อาจเป็นเพราะวุลแฟรมอินพุทนี้หมายถึงกรณีหลังนี้ในเชิงสัญลักษณ์

Answer 2

$$\begin{array}{} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-n} \to e^{-1} \\ \left( 1+\frac{1}{n^2} \right)^{-n} \to 1 \\ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{-n^2} \to 0 \end{array}$$

Answer 3

มูลค่า $1^\infty$ไม่แน่นอน สามารถตีความได้ว่า$$\lim_{x\to \infty} 1^x=1,$$ เช่น $$\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =e,$$ท่ามกลางคนอื่น ๆ. ความคลุมเครือนี้ทำให้ไม่แน่นอน BPRP มีวิดีโอดีๆที่เจาะลึกลงไปในแนวคิดนี้