ทำไม $e$ไร้เหตุผล? [ซ้ำ]

Question

ฉันไม่ได้มองหาข้อพิสูจน์ แต่เป็นคำอธิบายเพราะฉันรู้ว่ามีบางอย่างผิดปกติกับความคิดของฉัน

ดังนั้นฉันรู้ว่า $$ e = \lim_{n\to\infty} (1+\dfrac{1}{n})^n $$ และนอกจากนี้ยังมี $$ e = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} $$

และฉันก็สับสนว่าทำไม $e$ อาจไม่ลงตัวเนื่องจากคำจำกัดความทั้งสองเป็นจำนวนตรรกยะ (?)

ฉันรู้ว่าการเพิ่มภายใต้เหตุผลถูกปิดดังนั้นฉันจึงสับสนเนื่องจากทั้งสองอย่างนี้สามารถจัดเรียงใหม่เป็นบางสิ่งที่มีเหตุผลได้ (เช่นผลรวมของเหตุผลหรือ $(\dfrac{n+1}{n})^n$) ดังนั้นฉันเดาว่าคำถามของฉันคือเหตุใดเหตุผลเหล่านี้จึงมาบรรจบกันอย่างไร้เหตุผล?

ขอบคุณ.

Answer 1

ข้อผิดพลาดอยู่ในการยืนยันว่า“ คำจำกัดความทั้งสองนั้นเป็นจำนวนที่มีเหตุผล” ไม่จริง. ทั้งสองคนแสดงออก$e$เป็นขีด จำกัดของลำดับของจำนวนตรรกยะ ข้อผิดพลาดของคุณอยู่ในสมมติฐานที่ซ่อนอยู่ (และเป็นเท็จ) ว่าขีด จำกัด ของลำดับการบรรจบกันของตัวเลขเชิงเหตุผลก็ต้องมีเหตุผลเช่นกัน

Answer 2

การที่เหตุผลปิดอยู่ภายใต้การบวกหมายความว่าผลรวมของสองเหตุผลใด ๆเป็นเหตุผลอีกครั้ง โดยการเหนี่ยวนำคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าสิ่งนี้ใช้ได้กับเหตุผลจำนวนจำกัด แต่เหตุผลจะไม่ปิดภายใต้ผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุด

Answer 3

เพียงเพราะผลรวมบางส่วน (จำกัด ) เป็นจำนวนตรรกยะนั่นไม่ได้หมายความว่าขีด จำกัด คือ

ยกตัวอย่างค่าคงที่ที่รู้จักกันดี: $\pi = 3+0.1+0.04+...$

ผลรวมทุกส่วนมีเหตุผล แต่ขีด จำกัด เป็นจำนวนอตรรกยะที่รู้จักกันดี

ในทำนองเดียวกันสำหรับทุกจำนวนธรรมชาติที่ จำกัด $n$, $1/n > 0$ แต่ขีด จำกัด $\lim_{n\to\infty} 1/n \not > 0$.