เทคนิค Affine transformations (Putnam 2001, A-4)

Question

ฉันพยายามที่จะเรียนรู้เทคนิคของการเลียนแบบแปลงจากนี้บทความ คำถามแรกที่ครอบคลุมคือคำถาม A4 ใน Putnam of 2001

(พัท 2544, A4) $\triangle ABC$มีพื้นที่หนึ่ง จุด$E$, $F$, $G$ นอนบน $BC$, $CA$และ $AB$ ตามลำดับเช่นนั้น $AE$ แบ่งครึ่ง $BF$ ตรงจุด $R$, $BF$ แบ่งครึ่ง $CG$ ที่ $S$และ $CG$ แบ่งครึ่ง $AE$ ที่ $T$. ค้นหาพื้นที่ของ$\triangle RST$.

เราสามารถทำได้โดยการเปลี่ยนแปลงของ Affine $\triangle ABC$จะเป็นด้านเท่ากันหรือหน้าจั่วขวาตามที่เราเห็นสมควร เมื่อไหร่$\triangle ABC$ ถูกต้องเรามีสิ่งนั้น $\frac{AG}{AB} = \frac{BE}{BC} = \frac{CF}{CA} = r$. สิ่งนี้สมเหตุสมผล แต่แล้วมันก็บ้า เห็นได้ชัดว่าในกรณีหน้าจั่วขวา "เราสามารถใช้ความจริงที่ว่า$CG$ แบ่งครึ่ง $AE$ เพื่อรับตัวตน $(1 - r)(1 - \frac{r}{2}) = 1/2$"ทำไมจึงเป็นเช่นนี้ (ภายหลังมีการอ้างสิทธิ์ที่น่างงงวยอื่น ๆ เช่น: $\frac{CT}{CG} = \frac{1}{2(1-r)}$ และ $BS = SG$แต่หวังว่าถ้าฉันสามารถเข้าใจว่าผู้เขียนคิดขึ้นมาได้อย่างไรคนอื่น ๆ ก็จะชัดเจนมากขึ้น)

ฉันค้นหาโซลูชันพัทอย่างเป็นทางการและดูเหมือนว่าพวกเขาจะใช้เทคนิค Affine แตกต่างกันเล็กน้อย แนวทางที่สอง (จากหก) ใช้การแปลงความสัมพันธ์ที่จะดำเนินการ$\triangle ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมโดยเฉพาะโดยมีพื้นที่หนึ่ง (คือสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด $(0,1)$, $(1,0)$และ $(-1,0)$. ด้วยความเป็นเชิงเส้นร่วมของเซตย่อยของจุดเหล่านี้เราสามารถสร้างสมการสามสมการในสามสิ่งที่ไม่รู้จักได้ (สมการเหล่านี้ไม่ใช่เชิงเส้น แต่ยังคงแก้ไขได้) การเสียบค่าสำหรับสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งสามของเราทำให้เราได้พิกัดของจุด$R$, $S$และ $T$. เราสามารถใช้ Shoelace Lemma เพื่อหาพื้นที่ของ$\triangle RST$. ตั้งแต่พื้นที่ของ$\triangle ABC$ มีอยู่แล้วการแปลงความสัมพันธ์ใด ๆ จะทำให้อัตราส่วนของพื้นที่ของ $\triangle ABC$ ถึง $\triangle RST$แก้ไขแล้ว. ปัญหาเดียวของวิธีการนี้คือจำนวนการคำนวณแรงเฉือนที่จำเป็นหากต้องใช้วิธีแก้ปัญหาด้วยมือ

Answer 1

นี่คือวิธีที่เราจะได้รับ $(1-r)(1 - \frac12 r) = \frac12$.

ลดระดับความสูงจาก $T$ ไปยัง $BC$; ปล่อย$H$ เป็นฐานของระดับความสูงนั้น

• ในแง่หนึ่ง $\triangle THE$ เหมือนกับ $\triangle ABE$และตั้งแต่นั้นมา $T$ แบ่งครึ่ง $AE$, เรารู้ว่า $\triangle THE = \frac12 \triangle ABE$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง,$TH = \frac12 AB$และ $HE = \frac12 BE = \frac r2 BC$.
• ในทางกลับกัน, $\triangle THC$ เหมือนกับ $\triangle GBC$. จากด้านบนเรารู้ว่า$HC = (1 - \frac r2)BC$ดังนั้น $TH = (1 - \frac r2) GB = (1 - \frac r2)(1 - r)AB$.

สิ่งนี้ทำให้เรามีสองนิพจน์สำหรับ $TH$ ในแง่ของ $AB$ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $(1 - \frac r2)(1-r) = \frac 12$.

(สิ่งที่เป็น "สามเหลี่ยมมุมฉาก" เป็นเรื่องของรสนิยมมันทำให้ง่ายที่จะพูดว่า "ลดระดับความสูง" แต่เราอาจได้รับเอฟเฟกต์แบบเดียวกันนี้ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ โดยลากเส้นผ่าน $T$ ขนานกับ $AB$และปล่อยให้ $H$ จะตัดกับ $BC$.)

วิทยุ $\frac{CT}{CG}$ ยังมาจากความคล้ายคลึงกันของ $\triangle THC$ และ $\triangle GBC$ในขณะที่จะได้รับ $BS = SG$ (สิ่งที่เป็นจริงเฉพาะในกรณีหน้าจั่วด้านขวาเนื่องจากการแปลงความสัมพันธ์จะไม่รักษาอัตราส่วนของส่วนที่ไม่ขนานกัน!) เราต้องลดระดับความสูงจาก $S$ ไปยัง $AB$ และดูว่ามันแบ่งออกเป็นสองส่วน $BG$.

---

ฉันจะเพิ่มว่าเมื่อคุณรู้ $r$(ซึ่งมีหลายวิธีที่จะได้รับ) ฉันเห็นวิธีที่ง่ายกว่าในการพิสูจน์ให้เสร็จสิ้น ตั้งแต่$AT = TE$, เรามี $[ATC] = [TEC]$โดยที่วงเล็บแสดงถึงพื้นที่ ในกรณีด้านเท่าเทียมกันเรามี$[AFST] = [CERS]$โดยสมมาตร โดยการลบเราจะได้$[CFS] = [RST]$.

ดังนั้นให้ $a = [AGT] = [BER] = [CFS] = [RST]$ และปล่อยให้ $b = [AFST] = [BGTR] = [CERS]$. เราได้รับในปัญหาว่า$4a+3b = [ABC] = 1$; ในขณะเดียวกัน,$2a+b = [AGC] = r$. สิ่งนี้ทำให้เรามีสองสมการที่ต้องแก้$a$ และ $b$และ $a$ คือสิ่งที่เราต้องการค้นหา

(โดยทั่วไปฉันขอแนะนำให้ติดตามอัตราส่วนของพื้นที่ในการพิสูจน์การเปลี่ยนแปลง)