ทฤษฎีการแจกแจง $ {u}\,{\sin((\pi)x)}=1.$ [ปิด]

Question

ฉันใช้ทฤษฎีการแจกแจงโดยฟรีดแลนเดอร์และโจชิ ฉันต้องการค้นหาทั้งหมด$u$ ใน $D'(\mathbb R)$ ดังกล่าว:

$$ {u}\cdot{\sin((\pi)x)}=1.$$

ฉันเห็นว่าจำนวนเต็มใด ๆ เป็นเสา มีความเรียบง่ายหรือไม่?

Answer 1

$$f = pv(\frac{1}{\sin(\pi x)})$$ เป็นทางออก

จากนั้นวิธีแก้ปัญหาใด ๆ ก็อยู่ในรูปแบบ $$u=f+w, \qquad w\sin(\pi x)=0$$ ให้ดังกล่าว $w$แก้ไขบางส่วน $\psi \in C^\infty_c(-1,1)$, $\psi(0)=1$.

สำหรับทุกอย่าง $\phi \in C^\infty_c(-1,1)$ เรามี $$\langle w,\phi-\phi(0)\psi\rangle = \langle w\sin(\pi x),\frac{\phi-\phi(0)\psi}{\sin(\pi x)}\rangle=0$$ กล่าวคือ. $$\langle w,\phi\rangle= \langle C\delta,\phi\rangle,\qquad C = \langle w,\psi\rangle$$ จบได้ไหม?