Vandermonde-Matrix ทั่วไป
ปล่อย $z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\setminus\left\lbrace 0 \right\rbrace$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่แตกต่างกัน $\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n$ จำนวนเต็มบวกและกำหนด $$A = \left( z_i^{\lambda_k}\right)_{i,j = 1,\ldots, n} = \begin{pmatrix} z_1^{\lambda_1} & z_1^{\lambda_2} & \cdots & z_1^{\lambda_n} \\ z_2^{\lambda_1} & z_2^{\lambda_2} & \cdots & z_2^{\lambda_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_n^{\lambda_1} & z_n^{\lambda_2} & \cdots & z_n^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$ จริงหรือไม่ $A$ กลับไม่ได้?
ฉันพบคำถามที่เกี่ยวข้องนี้แต่เกี่ยวข้องกับฟิลด์ที่ จำกัด โดยที่ในกรณีของฉันฟิลด์พื้นฐานคือระนาบเชิงซ้อน
ถ้า $\lambda_k = k -1 $ สำหรับ $k = 1, \ldots, n$แล้ว $A$เป็น Vandermonde-Matrix ที่รู้จักกันดีดังนั้นในกรณีนี้คำตอบจึงเป็นบวก ฉันได้พยายามคำนวณดีเทอร์มีแนนต์ของ$A$ คล้ายคลึงกับวิธีการทำถ้า $A$ คือ Vandermonde-Matrix แต่ไม่ประสบความสำเร็จ
ใครมีข้อมูลอ้างอิงหรือหลักฐานที่ตอบคำถามนี้ได้บ้าง?
ขอบคุณล่วงหน้า...
คำตอบ
ไม่จำเป็นต้องกลับด้าน พิจารณา$z_1 = 1, z_2 = -1$กับ $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$. แล้วเมทริกซ์ที่ได้คือ$2 \times 2$ เมทริกซ์ของวัตถุซึ่งชัดเจนว่าไม่สามารถกลับด้านได้
หากต้องการดูว่าเหตุใดโดยทั่วไปจึงไม่จำเป็นต้องกลับด้านให้คิดว่าเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์เป็นการแก้ไขพหุนาม ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ Vandermonde ปกติให้ค่า$(n - 1)$พหุนามดีกรีที่กำลังจะผ่านไป $n$จุดที่แตกต่าง สิ่งที่คุณกำลังถามที่นี่คือการหาพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ทั้งหมดยกเว้นค่าสัมประสิทธิ์ของเงื่อนไข$x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \cdots, x^{\lambda_n}$. ในการสร้างตัวอย่างตอบโต้เราเพียงแค่ต้องสังเกตว่าพหุนามดังกล่าวมี$\lambda_n - \lambda_1$ รากที่ไม่ใช่ศูนย์และถ้า $n$ ของเหล่านี้ $\lambda_n - \lambda_1$ รากมีความแตกต่างกันเราหาได้ $n$ ค่าที่แตกต่างที่จะมอบให้ $z_1, \cdots, z_n$ และให้เมทริกซ์เป็นเอกพจน์ (ทำไม?)