Vector-Valued Stone-Weierstrass Theorem?

Question

คำแถลงมาตรฐานของทฤษฎีบท Stone-Weierstrass คือ:

ปล่อย $X$ มีขนาดกะทัดรัด Hausdorff topological space และ $\mathcal{A}$ พีชคณิตย่อยของฟังก์ชันต่อเนื่องจาก $X$ ถึง $\mathbb{R}$ซึ่งแยกจุด แล้ว$\mathcal{A}$ มีความหนาแน่นใน $C(X, \mathbb{R})$ ใน sup-norm

วัสดุส่วนใหญ่ที่ฉันสามารถหาได้จากการขยายทฤษฎีบทของ Stone-Weierstrass กล่าวถึงเฉพาะกรณีหลายตัวแปรเช่น $X\in \mathbb{R}^d$. ฉันสงสัยว่าทฤษฎีบทนี้สามารถขยายเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีมูลค่าเวกเตอร์ได้หรือไม่ โดยเฉพาะให้$\mathcal{A}$ เป็นพีชคณิตย่อยของฟังก์ชันต่อเนื่อง $X\to \mathbb{R}^n$โดยมีการกำหนดองค์ประกอบการคูณไว้อย่างชาญฉลาดกล่าวคือ $\forall f, g\in \mathcal{A}$, $fg = (f_1g_1, \ldots, f_ng_n)$. แล้วเราจะเรียกร้อง$\mathcal{A}$ มีความหนาแน่นใน $C(X, \mathbb{R}^n)$ ใน sup-norm ถ้า $\mathcal{A}$ แยกจุด?

คำตอบโดยตรงหรือการอ้างอิงใด ๆ จะช่วยฉันได้มาก!

แก้ไข: ดังที่ Nik Weaver ชี้ให้เห็นการคาดเดาเดิมเป็นเท็จเนื่องจากฟังก์ชันของแบบฟอร์ม $x\mapsto (f(x), 0, \ldots, 0)$สร้างตัวอย่างตอบโต้ ฉันสงสัยว่ามีทฤษฎีบทประเภท Weierstrass ที่ไม่สำคัญเกี่ยวกับฟังก์ชันที่มีมูลค่าเวกเตอร์หรือไม่ ตัวอย่างเช่นถ้าเราคิดต่อไป$\mathcal{A}$มีความหนาแน่นสูงในแต่ละ`แกน?

Answer 1

ฉันคิดว่าคุณต้องการสิ่งนี้:

ปล่อย $E\to X$ เป็นกลุ่มเวกเตอร์ (อันดับ จำกัด ) บนพื้นที่ทอพอโลยี Hausdorff ขนาดกะทัดรัด $X$, ปล่อย $\mathcal{A}\subset C(X,\mathbb{R})$ เป็นพีชคณิตย่อยที่แยกจุดและปล่อยให้ $\mathcal{E}\subset C(X,E)$ ถั่ว $\mathcal{A}$- โมดูลย่อยของไฟล์ $C(X,\mathbb{R})$- โมดูลของส่วนต่อเนื่องของ $E\to X$. สมมติว่าทุกจุด$x\in X$, ชุด $\{\,e(x)\ |\ e\in\mathcal{E}\ \}$ ครอบคลุม $E_x$. แล้ว$\mathcal{E}$ มีความหนาแน่นใน $C(X,E)$ ด้วยความเคารพต่อ sup-norm ที่กำหนดโดยบรรทัดฐานใด ๆ บน $E$.

ภาคผนวก:นี่คือภาพร่างของอาร์กิวเมนต์: ประการแรกโดยอาร์กิวเมนต์กระชับง่ายเราสามารถแสดงสิ่งนั้นได้$\mathcal{E}$ ประกอบด้วยชุด จำกัด $e_1,\ldots e_m$ ดังนั้น $e_1(x),e_2(x),\ldots,e_m(x)$ ครอบคลุม $E_x$ เพื่อทุกสิ่ง $x\in X$. แล้ว$\mathcal{E}$ มีทุกส่วนของแบบฟอร์ม $$a_1\, e_1 + \cdots + a_m\,e_m$$ ที่ไหน $a_i\in\mathcal{A}$และทุกส่วน $e\in C(X,E)$ สามารถเขียนในแบบฟอร์ม $$e = f_1\, e_1 + \cdots + f_m\,e_m$$ สำหรับบางฟังก์ชัน $f_i\in C(X,\mathbb{R})$. ตามทฤษฎีบท Stone-Weierstrass สำหรับทุกสิ่งที่กำหนด$\delta>0$เราสามารถเลือกได้ $a_i\in \mathcal{A}$ ดังนั้น $\|f_i-a_i\|<\delta$ เพื่อทุกสิ่ง $1\le i\le m$. ตอนนี้ความเท่ากันของบรรทัดฐานทั้งหมดในช่องว่างเวกเตอร์มิติ จำกัด สามารถนำไปใช้ (ร่วมกับความกะทัดรัดของ$X$) เพื่อสรุปว่า $\mathcal{E}$ มีความหนาแน่นใน $C(X,E)$ ใน sup-norm ใด ๆ ที่ได้มาจากบรรทัดฐานบนเวกเตอร์บันเดิล (อันดับ จำกัด ) $E$.

Answer 2

นี่เป็นความคิดเห็นไม่ใช่คำตอบ แต่ฉันเป็นอนิจจาไม่มีสิทธิ์ ทฤษฎี Stone-Weierstraßที่มีมูลค่าเวกเตอร์ได้รับการศึกษาโดยละเอียดในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่แล้วและมีเอกสารที่ครอบคลุมเรื่องนี้โดยJoão Prolla ("Weierstraß-Stone, theorem", 1993) ไม่อยู่ในหัวข้อ แต่เขายังพิจารณากรณีของฟังก์ชันที่มีค่าเวกเตอร์ที่มีขอบเขตและต่อเนื่องบนพื้นที่ที่ไม่กะทัดรัดโดยใช้โทโพโลยีที่เข้มงวดของ RC Buck