วิธีพิสูจน์ว่ากลุ่มนั้น $IF=HF+GF$

Aug 16 2020

$AE$ และ $CD$ คือเส้นแบ่งครึ่งมุมของ $\triangle ABC$. $F$ เป็นจุดตามอำเภอใจในบรรทัด $DE$. พิสูจน์ว่า$GF+HF=IF$.

ฉันสังเกตเห็น $3$รูปสี่เหลี่ยมวงกลม ความคิดใด ๆ นี่คือภาพ

คำตอบ

6 JeanMarie Aug 16 2020 at 15:00

พิจารณาพิกัด Trilinear (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) ก่อนในกรณีที่ $F$ อยู่ภายในสามเหลี่ยม $ABC$.

$D$ และ $E$เป็นฟุตของไบเซกเตอร์มุมมีการตอบสนอง ประสานงานไตรลิเนียร์$(1,1,0)$ และ $(0,1,1)$. ดังนั้นสมการสามเชิงเส้นของเส้นตรง$DE$ คือ:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

การตีความ $(x=FG,y=FH,z=FI)$, เราได้รับ:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( ซึ่งไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่กำหนด! )

ตอนนี้ถ้า $F$ ไม่อยู่ในสามเหลี่ยม $ABC$นี่คือกรณีอื่น ๆ :

  • ในกรณีที่ปรากฎในรูปที่กำหนด ($F$ "แค่ภายนอก" $[DE]$ ที่ด้านข้างของ $E$) เพียงหนึ่งในพิกัดไตรลิเนียร์ $FG$ผ่านการเปลี่ยนสัญญาณ ดังนั้น (1) จึงกลายเป็น:

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

ซึ่งเท่ากับความสัมพันธ์ครั้งนี้!

ถ้าในกรณีของรูปที่กำหนด $F$ อยู่ห่างออกไปมีการเปลี่ยนเครื่องหมายที่สองเกิดขึ้นในขณะนี้สำหรับระยะทาง $FH$, เปลี่ยน (2) เป็น:

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

ซึ่งเป็นสูตรที่สาม

  • ถ้าตรงกันข้าม $F$ อยู่นอกส่วนของเส้นตรง $[D,E]$ แต่อยู่ด้านข้างของ $D$เราต้องเปลี่ยน $FI$ ตรงข้ามกับ (1) ให้กลับความสัมพันธ์ (3)

ข้อสังเกตเกี่ยวกับความสัมพันธ์ (0): เราได้มาจากการหาค่าคงที่แบบคูณ สิ่งนี้ไม่สำคัญเพราะเราจัดการกับความสัมพันธ์ที่มีศูนย์อยู่ทางขวามือ