"เอฟเฟกต์ผีเสื้อที่แท้จริง"
คำถามนี้เกิดจากความสับสนที่ฉันรู้สึกหลังจากอ่านบล็อกโพสต์ยอดนิยมนี้โดย Sabine Hossenfelder มันขึ้นอยู่กับกระดาษนี้ซึ่งมีการจ่ายเงินเป็นจำนวนมาก แต่น่าเสียดาย
การอ้างสิทธิ์มีดังต่อไปนี้:
แต่ตามที่นำเสนอในกระดาษเทลลัสปี 1969 ลอเรนซ์ตั้งใจให้วลีนี้อธิบายถึงการมีอยู่ของอุปสรรคการคาดเดาเวลา จำกัด แน่นอนในระบบของไหลหลายมาตราส่วนซึ่งหมายถึงการแยกย่อยของการพึ่งพาอย่างต่อเนื่องในเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับระยะเวลาในการคาดการณ์ที่มากพอ
รายละเอียดของความต่อเนื่องทำให้ฉันประหลาดใจอย่างสิ้นเชิงและอันที่จริงนี่คือร่างของฉันเกี่ยวกับการพิสูจน์การสนทนา:
- พิจารณาพื้นที่เวกเตอร์เชิงเส้นของฟังก์ชันที่มีการรองรับขนาดกะทัดรัดเหนือพื้นที่เฟสเสริมด้วยปกติ $L_2$ บรรทัดฐาน
- กำหนดการกระทำของแฮมิลตัน (คลาสสิก) ในฟังก์ชันโดย $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$. สังเกตว่าด้วยคำจำกัดความนี้ตัวดำเนินการเป็นตัวกำหนดเอง (พิสูจน์ได้โดยการโต้แย้งที่เกี่ยวข้องกับการรวมโดยส่วนต่างๆ)
- ตามทฤษฎีบทของสโตนจะต้องมีการแปลกลุ่มเวลา 1 พาราเมตริกที่ต่อเนื่องกันอย่างมากดังนั้นการแยกย่อยของการพึ่งพาอย่างต่อเนื่องในเงื่อนไขเริ่มต้นจึงเป็นไปไม่ได้
เนื่องจากข้อสรุปของฉันเห็นได้ชัดว่าขัดแย้งกับข้อสรุปในบทคัดย่อของ Palmer et al. ฉันจึงอยากทราบว่ามีอะไรผิดพลาดที่อาจนำไปสู่อุปสรรคในการคาดการณ์เวลา จำกัด ในระบบที่แสดง "เอฟเฟกต์ผีเสื้อจริง"
อัปเดต:ข้อโต้แย้งที่ง่ายกว่ามากโดยเพื่อนของฉัน: take$U(T/2)$ (ตัวดำเนินการวิวัฒนาการที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลา $T/2$ ที่ไหน $T > 0$คืออุปสรรคในการคาดการณ์ที่ควรจะเป็น) โดยการก่อสร้างเป็นไปอย่างต่อเนื่องเช่นเดียวกับ$T / 2 < T$. ดังนั้น$U(T/2)^4 = U(2T)$ยังมีความต่อเนื่อง สิ่งนี้ทำให้เรามองเห็นอนาคตที่ไกลกว่าสิ่งกีดขวางด้วยตัวดำเนินการที่ต่อเนื่องซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานเดิม เราสรุปว่า$T$ ต้องเป็นอนันต์หรือศูนย์
คำตอบ
มีบางประเด็นเกี่ยวกับการโพสต์บนเว็บไซต์ ฉันไม่เข้าใจวิธีการส่งผ่านสมการ Navier-Stokesซึ่งเป็นPDEไปยังระบบODE (สมการของลอเรนซ์?) ซึ่งดูเหมือนจะเป็นหัวข้อของการสนทนา (ดูที่การกำหนดคำถามโดย Prof.Legolasov) ขออภัยที่ฉันไม่สามารถเข้าถึงกระดาษได้
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ที่บริสุทธิ์ทุกอย่างชัดเจนดังนั้นปัญหาต้องเกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองทางกายภาพ : รายละเอียดบางส่วนของคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ควรเกิดขึ้นในบางระดับด้วยเหตุผลทางกายภาพ แต่หากไม่อ่านบทความนี้ก็ยากที่จะพูดคุยกัน
นี่คือคำอธิบายสั้น ๆ ของสถานการณ์ทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการพึ่งพาข้อมูลเริ่มต้น
ทุกระบบ ODE (อิสระ) เป็นของลอเรนซ์สามารถเขียนเป็นไฟล์$$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ ที่ไหน $x\in M$, $M$ เป็นบางส่วน $C^k$ มากมายและ $F$ ก $C^k$ เปิดฟิลด์เวกเตอร์ $M$ ด้วย $k\geq 1$.
ตอนนี้เป็นผลลัพธ์มาตรฐานของทฤษฎี ODE ที่ถ้า $x=x(t|x_0)$ เป็นคำตอบสูงสุดของ (1) ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้น $x(0)= x_0\in M$ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเปิด $I_{x_0}\ni 0$แล้ว
(1) ชุด $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ เปิดให้บริการใน $\mathbb{R}\times M$
(2) แผนที่ $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ เป็นร่วมกัน $C^k$ (และ $C^{k+1}$ ในตัวแปร $t$).
ดังนั้นในโดเมนเต็มของโซลูชันจึงมีไฟล์ $C^k$(จึงต่อเนื่อง) รูปแบบการพึ่งพาข้อมูลเริ่มต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อแก้ไขบางส่วน$T$, แผนที่ $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ ที่ไหน $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$จำเป็นต้องต่อเนื่อง
หากเรากำลังจัดการกับ PDE ที่เหมาะสมสมการ Navier-Stokes อย่างแม่นยำสิ่งต่าง ๆ มีความละเอียดอ่อนกว่ามากและเป็นที่รู้จักกันดี เพียงแค่การพิสูจน์การมีอยู่และทฤษฎีบทเฉพาะสำหรับข้อมูลเริ่มต้นที่กำหนด (ซึ่งปัจจุบันเป็นฟังก์ชัน) ก็เป็นปัญหาได้ วันที่เริ่มต้นของรูปแบบการพึ่งพาอย่างต่อเนื่องเป็นปัญหามากยิ่งขึ้น
เกี่ยวกับข้อเสนอแนะของ Prof.Legolasov ฉันมีปัญหากับมัน
(ก) เราหมายถึงระบบ ODE ของลอเรนซ์หรือไม่? นั่นไม่ใช่แฮมิลตันเนื่องจากท่อร่วมมีมิติแปลก ๆ ดังนั้นสิ่งที่เป็น$H$เหรอ?
(b) เราใช้โครงสร้างปัวซองที่ไม่ใช่สัญลักษณ์แทนหรือไม่?
(c) ถัดไปแม้จะอ้างถึง $L^2(M)$ (วัดอะไร) เหนือท่อร่วมปัวซอง $M$, $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ สมมาตรเช่นใน $\mathbb{R}^{2n}$หมายถึงโครงสร้างแบบยุคลิดตามธรรมชาติและโครงสร้าง symplectic มาตรฐานในพิกัดคาร์ทีเซียนorthon ปกติแต่ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดเชื่อมต่อด้วยตัวเองเป็นหลัก (โดยพื้นฐานแล้วความสามารถในการควบคุมตัวเองของ PDE บนท่อร่วมของRiemannianเป็นปัญหาที่ละเอียดอ่อนและผลลัพธ์ทั่วไปเป็นที่รู้จักสำหรับตัวดำเนินการรูปไข่และ$-i\{H, \cdot\}$ ไม่ใช่รูปไข่โดยทั่วไป [โดยทั่วไปแล้วเมตริก Riemannian เมื่อเรามีโครงสร้างแบบปัวซองเท่านั้น])
(d) ในที่สุดแม้ว่าเราจะสร้างกลุ่มที่ต่อเนื่องกันอย่างมากที่สร้างขึ้นโดยส่วนขยายของ selfadjoint $-i\{H, \cdot\}$ฉันไม่สามารถเห็นความสัมพันธ์กับการพึ่งพาอย่างต่อเนื่องจากข้อมูลเริ่มต้นของ ODE ที่เกี่ยวข้อง $H$.
นี่คือสิ่งที่อาจขาดหายไป
ขีดจำกัดความสามารถในการคาดเดานั้นจำเป็นต้องมีกลไกป้อนกลับซึ่งทำงานในแต่ละขั้นตอนในการจำลองสถานการณ์ ข้อเสนอแนะจะช่วยเพิ่มความไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นและขยายผลของการปัดเศษและการแยกข้อผิดพลาดในอัลกอริทึมและด้วยเหตุนี้จึงทำให้ระบบมีความแตกต่างกันหลังจากการทำซ้ำหลายครั้ง จะไม่เห็นผลกระทบนี้หากเส้นทางข้อเสนอแนะเสีย