“ เอซสุดท้าย”
คุณมีไพ่ 52 สำรับที่สับอย่างละเอียด ทุกครั้งที่คุณเลือกไพ่หนึ่งใบจากสำรับ การ์ดที่ลากจะถูกใส่กลับเข้าไปในเด็คและไพ่ทั้ง 52 ใบจะถูกสับซ้ำอีกครั้ง คุณทำตามขั้นตอนนี้ต่อไปจนกว่าคุณจะเห็นเอซทั้งสี่ที่แตกต่างกัน ค่าที่คาดหวังและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของจำนวนครั้งที่คุณต้องจั่วการ์ดจนกว่าคุณจะเห็นเอซที่แตกต่างกันทั้งสี่แบบ
เห็นได้ชัดว่าปัญหาคือฉันสามารถวาดเอซเดียวกันซ้ำแล้วซ้ำอีกได้ดังนั้นฉันควรนับจำนวนไพ่ที่ฉันจั่วระหว่าง $k-1$ความสำเร็จและ $k$ความสำเร็จ (กล่าวคือตัวอย่างเช่นไพ่ที่จั่วระหว่างเอซที่สามและเอซที่สี่ซึ่งแต่ละใบจะแตกต่างจากอีกใบ) แต่ความจริงแล้วเอซจะต้องแตกต่างกันที่เชื่อมโยงกับข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อดึงเอซเอซนี้กลับมาในเด็คหมายความว่าเมื่อฉันวาดเอซที่สาม "เกม" จะเริ่มจากศูนย์ดังนั้นฉันต้องคำนวณจำนวนการทดลอง (ไพ่ที่วาด) จำเป็นต้องประสบความสำเร็จครั้งแรก (กล่าวคือยังไม่เห็นเอซที่สี่และสุดท้าย)
ดังนั้นถ้า $X_i=[$จั่วไพ่ # ใบก่อน $i$เอซ$]$เรามีสิ่งนั้น $X_1,X_2,X_3,X_4\sim\operatorname{Geo}(p)$.
ฉันจะใช้สิ่งนี้เพื่อแก้ปัญหาได้อย่างไร ขอบคุณล่วงหน้าสำหรับความช่วยเหลือ
คำตอบ
ปล่อย $X$ แสดงถึงตัวแปรสุ่มแสดงจำนวนการทดลองที่จะได้รับ $4$เอซ เราสามารถแบ่ง$X$ เป็น $4$ ตัวแปรสุ่มแยกต่างหากซึ่งเราจะเรียก $X_1$ (จำนวนการทดลองเพื่อดึงเอซแรก) $X_2$ (จำนวนการทดลองดึงเอซที่สองหลังจากดึงเอซแรก) $X_3$ (จำนวนการทดลองดึงเอซที่สามหลังจากดึงเอซที่สอง) และ $X_4$(จำนวนการทดลองดึงเอซที่สี่หลังจากดึงเอซที่สาม) การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรคือการแจกแจงทางเรขาคณิต สำหรับการแจกแจงทางเรขาคณิตเรามี$E[Y]=\frac1p$ และ $\text{Var}(Y)=\frac{1-p}{p^2}$.
โอกาสในการดึงเอซแรกของเราในการทดลองคือ $\frac4{52}=\frac1{13}$ ดังนั้น $E[X_1]=13$ และ $\text{Var}(X_1)=156$. โอกาสในการดึงเอซที่สามของเราในการทดลองคือ$\frac3{52}$ ดังนั้น $E[X_2]=\frac{52}3$ และ $\text{Var}(X_2)=\frac{2548}9$. โอกาสในการดึงเอซที่สามของเราในการทดลองคือ$\frac2{52}=\frac1{26}$ ดังนั้น $E[X_3]=26$ และ $\text{Var}(X_3)=650$. โอกาสในการดึงเอซที่สามของเราในการทดลองคือ$\frac1{52}$ ดังนั้น $E[X_3]=52$ และ $\text{Var}(X_4)=2652$.
เพราะ $X_1$, $X_2$, $X_3$ และ $X_4$ เป็นอิสระเราสามารถเพิ่มค่าและผลต่างที่คาดหวังได้โดยตรงเพื่อให้ได้ค่าและความแปรปรวนที่คาดหวัง $X$. เรามี
$$E[X]=E[X_1]+E[X_2]+E[X_3]+E[X_4]=13+\frac{52}3+26+52=108\frac13$$
และ
$$\text{Var}(X)=\text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\text{Var}(X_3)+\text{Var}(X_4)=156+\frac{2548}9+650+2652=\frac{33670}9$$
ในการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเราใช้รากที่สองของความแปรปรวนนั่นคือ:
$$\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{\frac{33670}9}=\frac{\sqrt{33670}}3\approx61.164$$