อนุพันธ์ของ Bessel $K$

Question

ฉันสนใจอนุพันธ์แรกของเบสเซล $K$ฟังก์ชันที่เกี่ยวกับพารามิเตอร์ ฉันจะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้$K^{(1,0)}(n,z):= \frac{\partial}{\partial \nu} K_\nu(z) \bigg|_{\nu = n}$

ฉันได้ดูนิพจน์ที่แตกต่างกันสำหรับ $K^{(1,0)}$ตัวอย่างเช่นที่นี่: https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/01/

การแสดงออกของฉันดูเหมือนจะค่อนข้างดุร้าย เกี่ยวกับผลรวม infintite บนฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชัน digamma เป็นต้นฉันไม่มีประสบการณ์ในการจัดการกับอนุกรมประเภทนี้มากนัก

อย่างไรก็ตามนิพจน์เหล่านี้เป็นแบบทั่วไป $n\in \mathbb{Z}$ หรือ $n \notin \mathbb{Z}$และตอนนี้ฉันสนใจแค่ $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$. ฉันรู้แล้ว$K_{\frac{1}{2}}(z)$ ลดความซับซ้อนลงอย่างมากเมื่อเทียบกับทั่วไป $K_\nu(z)$ดังนั้นฉันรู้สึกว่าอาจมีความหวังอยู่บ้าง $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ ยังสามารถทำให้ง่ายขึ้นเมื่อเทียบกับ $K^{(1,0)}(n,z)$.

ไม่มีใครรู้ว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะให้นิพจน์แบบง่ายสำหรับอนุพันธ์ $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ ของ Bessel $K$ ฟังก์ชัน?

Answer 1

อนุพันธ์นี้จัดทำตารางอย่างชัดเจน ( DLMF ) \ begin {สมการ} \ left. \ frac {\ partial K _ {\ nu} \ left (x \ right)} {\ partial \ nu} \ right | _ {\ nu = \ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} E_ {1} \ left (2x \ right) e ^ {x} \ end {สมการ}โดยที่\ เริ่มต้น {สมการ} E_ { 1} \ left (z \ right) = \ int_ {z} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- t}} {t} \ mathrm {d} t \ end {สมการ}คืออินทิกรัลเอกซ์โพเนนเชียล