Warum haben wir $\hbar$ in der Kommutierungsbeziehung?
Stellen wir uns die Planck-Konstante als die Steigung der Dispersionsbeziehung des elektromagnetischen Feldes vor. $E=\hbar \omega$. Die Planck-Konstante ist nicht unabhängig von der Elektronenladung, beide können neu skaliert werden, solange die Feinstrukturkonstante unverändert bleibt. Trotzdem ist es oft bequem, beide zu verwenden.
Wenn wir anfangen, QM zu lernen, bevor wir zu QED kommen, wird uns beigebracht, dass die Planck-Konstante als Vielfaches von erscheint $i$in der kanonischen Quantisierungsrelation. Warum??
Versteh mich nicht falsch, ich bin völlig in Ordnung mit der Tatsache, dass es in den Studien des Oszillators erscheint. Es könnte einfach eine dimensionale Größe sein, in der andere Größen mit denselben Einheiten ausgedrückt werden.
Aber uns wird normalerweise etwas ganz anderes erzählt. Im Geiste "dieser Zahl$\hbar$ im $[q,p]=i\hbar$ ist die Planck-Konstante, deren Wert ... ist, und legt die Skala fest, auf der die Physik anfängt, Quanten zu sein ".
Stellen Sie sich eine Welt ohne QED vor, in der nur Quarks und Gluonen stark interagieren. Welche Zahl würden sie in die Kommutierungsbeziehung einfügen, wenn sie Studenten unterrichten?
Antworten
Diese Frage zeigt eine der grundlegenden Herausforderungen im Physikunterricht. Wir müssen zuerst einfachere Dinge lernen, weil wir Menschen sind, aber das steht in direktem Widerspruch zu dem Wunsch, Dinge in einer logisch klaren Reihenfolge zu lernen (tiefste Axiome zuerst und für immer alles andere daraus ableiten).
Wir lernen $E=\hbar\omega$für Photonen zuerst, weil es einfacher ist. Dann lernen wir nicht-relativistisches QM und dann QED. Aber der Grund für das Auftreten der gleichen Konstante$\hbar$ sowohl $E=\hbar\omega$ (für Photonen) und in $[q,p]=i\hbar$ Nicht-relativistisches QM (das keine Photonen hat) stammt von QED!
Für diesen speziellen Fall ist hier eine mögliche Lösung: Nachdem die Schüler dies gelernt haben $E=\hbar\omega$Weisen Sie für Photonen darauf hin, dass dies ein Sonderfall einer Beziehung ist, die für Teilchen aller Massen funktioniert, nicht nur für masselose. Dies gilt insbesondere für massive Partikel im nicht-relativistischen QM. Nachdem wir nun einige Grundlagen zum nicht-relativistischen QM eingeführt haben, können wir bekannt geben, dass der Faktor von$\hbar$ kommt wirklich aus den Kommutierungsbeziehungen, und dann können wir ihnen zeigen, wie man die Beziehung ableitet $E=\hbar\omega$ aus diesem tieferen Grund (für massive Partikel).
Wenn die Schüler bereit sind, nicht-relativistisches QM zu lernen, sollten sie bereits mit der allgemeinen Tatsache vertraut sein, dass sich die Sequenz der einfacheren Dinge oft von der logisch klaren Sequenz unterscheidet, sodass sie offen sein sollten, ihre neu zu arrangieren Ansicht darüber, woher Plancks Konstante "kommt", wenn sie nicht-relativistisches QM lernen. Und sobald die Schüler sehen, wie der Faktor von$\hbar$ im $E=\hbar\omega$ ergibt sich aus den Kommutierungsbeziehungen im nicht-relativistischen QM, sie sollten offen sein für die Idee, dass etwas Ähnliches allgemeiner zutreffen könnte, also sollten sie offen sein für eine Aussage wie diese:
Wenn Sie später etwas über relativistische QED lernen, werden Sie sehen, dass die Beziehung $E=\hbar\omega$ denn Photonen bekommen ihren Faktor von $\hbar$ aus derselben Quelle: Kommutierungsbeziehungen.
Dies ist keine perfekte Lösung, da die Schüler annehmen könnten, dass "Kommutierungsbeziehungen" "zwischen der beobachtbaren Position und dem beobachtbaren Impuls" bedeuten, was in der QED nicht wahr ist. Dieses Problem hat jedoch auch eine einfache Lösung, die im Standardlehrplan seltsamerweise fehlt: Unterrichten Sie nach dem Unterrichten von nicht-relativistischem QM und vor dem Unterrichten von QED nicht-relativistisches QFT! Nicht-relativistische QFT ist aus vielen Gründen eine großartige pädagogische Brücke, und dies ist einer dieser Gründe. Mit nicht-relativistischer QFT, bei der die Mathematik einfach ist, können wir den Schülern zeigen, wie sich die Positions-Impuls-Kommutierungsrelation aus der Feld-Feld-Kommutierungsrelation ergibt. Von dort lernen wir, warum wir im relativistischen Fall keinen strengen Positionsoperator konstruieren können - und warum wir es immer noch bekommen können$E=\hbar\omega$ direkt aus der Feld-Feld-Kommutierungsrelation - sollte ein relativ einfacher konzeptioneller Schritt sein.
Dies hängt nicht spezifisch von der QED ab, sondern ist eine Folge der allgemeinen Eigenschaft der Quantenmechanik, dass der Impuls das Fourier-Konjugat der Position ist, oder alternativ aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung. In natürlichen Einheiten enthält die Fourier-Transformation den Begriff$e^{ix\cdot p}$. Daraus folgt, dass die natürlichen Impulseinheiten 1 / [Länge] und ebenso die natürlichen Energieeinheiten 1 / [Zeit] betragen. So wie die Relativitätstheorie zeigt, dass die natürlichen Entfernungseinheiten die gleichen sind wie die Zeiteinheit ($c=1$) zeigt die Quantenmechanik, dass die natürlichen Energieeinheiten sind $\mathrm s^-1$. Mit anderen Worten,$\hbar$ist einfach eine Umrechnungskonstante zwischen natürlichen Einheiten und Energie (oder Masse). Dies spiegelt sich in der aktuellen SI-Definition des Kilogramms in Bezug auf die Plancksche Konstante wider .