Acerca de las simetrías del plano de Fano
He estado buscando realizaciones de orden $21$grupo metacíclico. Pregunté sobre esto ayer y aprendí muy buena información al respecto Realización del grupo metacíclico de orden 21
También estaba experimentando con el avión Fano y descubrí accidentalmente algo que no puedo explicar. Numeré los códigos binarios y consideré las permutaciones que los recorren en orden y las permutaciones que rotan los bits:
001, 010, 011, 100, 101, 110, and 111
1 2 3 4 5 6 7
gap> StructureDescription(Group((1,2,3,4,5,6,7), (1,2,4)(3,6,5)));
"C7 : C3"
Este es el grupo metacíclico. Pero luego miré el avión de Fano y vi que el ciclo debería ser$(7,6,4,3,5,1,2)$. Este ciclo produce$\text{PSL}(3,2)$. También encontré que el ciclo$(7,6,4,3,5,1,2)$ produce $A7$. Así que estaba muy confundido porque lo primero que intenté produjo el grupo que me interesaba, pero cuando miro ahora el avión de Fano, esto$7$-ciclo parece sin sentido / aleatorio.
¿Cuál es el significado geométrico de este $7$-ciclo permutación en términos del plano fano?
Respuestas
¿Cuál es el significado geométrico de esta permutación de 7 ciclos en términos del plano fano?
El Fano Plane es el plano proyectivo $\mathbb{P}(\mathbb{F}_2^3)$. Los subespacios 1D de$\mathbb{F}_2^3$ (entonces, vectores distintos de cero, porque $\mathbb{F}_2$) están representados por "puntos" y los subespacios 2D de $\mathbb{F}_2^3$, cada uno con tres subespacios 1D, son "líneas" proyectivas. Claramente$\mathbb{F}_2^3$ y por lo tanto el avión Fano tiene $3$-simetría de pliegues; la siguiente ilustración típica hace que$S_3$ simetría evidente:
Sin embargo, hay algunos aspectos del avión Fano que esta imagen oscurece. En particular, si bien se entiende que las líneas proyectivas$3$-ciclos en este gráfico anterior, la mayoría de estos $3$-¡Las bicicletas tienen un borde oculto! Se entiende que todas las líneas rectas "envuelven" para ser interpretadas como círculos de tipo. Como resultado, el nodo central se distingue de todos los demás, y esto rompe la simetría del plano de Fano real, en el que todos los puntos y todas las líneas son indistinguibles (es decir, el grupo de simetría actúa transitivamente sobre ellos).
El grupo de simetría $G$ del avión Fano tiene tamaño
$$ |\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)|=(2^3-1)(2^3-2)(2^3-2^2)=7\cdot24=168. $$
Aparte: Esto también indica que debería haber algún tipo de $4$- o $8$-pliegue de simetría al plano de Fano que de alguna manera debería ser representable. De hecho, si tomamos los puntos medios del borde exterior de la representación anterior y los sacamos un poco, podemos ver un hexágono, y desde allí, si los sacamos de la página (o pantalla), obtenemos un antiprisma triangular, es decir, un octaedro, pero con un punto central conectado mediante aristas a los otros seis vértices.
Se entiende que estos "ejes" a través del centro "envuelven" tal como lo hacían las líneas internas de la descripción anterior. Además, si pintamos las caras en un tablero de ajedrez (es decir, pintamos con dos colores para que las caras adyacentes sean de colores diferentes), los triángulos correspondientes de las caras del primer color también son líneas proyectivas. El grupo de simetría de este octaedro de tablero de ajedrez, y por lo tanto un subgrupo de simetría del plano de Fano, es$S_4$. En cierto sentido, esto es "mejor" que la representación habitual del plano Fano porque claramente incluye el anterior$S_3$ subgrupo de simetría (como rotaciones alrededor de una cara más algunos reflejos; estabiliza un par de caras opuestas).
Para ver esto, primero considere el grupo de simetría completo de un octaedro. El grupo de simetría rotacional es$S_4$, igual que el cubo (gran ejercicio), más el reflejo central incorrecto $-I_3$ hace que el grupo de simetría octaédrica sea $S_4\times\mathbb{Z}_2$. Por inspección, solo las permutaciones pares (de las cuatro diagonales espaciales a través de los puntos medios de la cara antípoda) son posibles con rotaciones que conservan el tablero de ajedrez, y solo las reflexiones adecuadas del plano conservan el patrón de tablero de ajedrez, por lo tanto, el grupo de simetría es$(A_4\times\{I_3\})\sqcup(S_4\setminus A_4\times\{-I_3\})$ que es una copia isomorfa de $S_4$ (que ha sido "torcido" de la copia obvia en $S_4\times\mathbb{Z}_2$).
De hecho, este $S_4$ es el estabilizador de $111$, el nodo central, porque es índice $7$o ver
$$ \mathrm{Stab}(111)\cong\mathrm{Aff}_2(\mathbb{F}_2)\cong\mathbb{F}_2^2\rtimes\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)\cong V_4\rtimes S_3 \cong S_4. $$
Arriba, usamos: (a) la forma habitual de poner un grupo afín en un grupo lineal general de una dimensión superior (como matrices de bloque con la última fila o columna un vector de coordenadas de base estándar), (b) el isomorfismo excepcional $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_2)=S_3$, y (c) el hecho excepcional (entre grupos simétricos) de que $S_4$ es un producto semidirecto.
Según el teorema de Cauchy, $G$ debe tener un elemento de orden $7$, que debe ser un $7$-ciclo (ya que actúa de forma no trivial en un conjunto de tamaños $7$), por lo que el avión Fano también debe tener $7$-pliegue la simetría de alguna manera.
Para ver cómo (visualmente), haremos uso del isomorfismo excepcional
$$ \mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)\cong \mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7). $$
Hay muchos argumentos que demuestran esto, algunos son elementales, pero ninguno me parece satisfactoriamente "natural" y "a priori", lamentablemente. En cualquier caso, podemos comprobar su tamaño coincide:
$$ |\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)|=\frac{(7^2-1)(7^2-7)}{2(7-1)}=168. $$
Reconstruiremos el avión Fano, con $7$-pliegue simetría, observando cómo se puede construir a partir de $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)$ y transportar detalles a $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$.
Note ciclar las coordenadas de $\mathbb{F}_2^3$ tiene tipo de ciclo $(\cdot\cdot\cdot)(\cdot\cdot\cdot)$ en el avión Fano (fijación $111$, con órbitas $100,010,001$ y $110,101,011$). (O equivalente,$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_2)=S_3$es $3$-ciclo que actúa sobre el plano de Fano tiene dos órbitas correspondientes a la última coordenada siendo $0$ o $1$. En este caso, el punto fijo es$001$ en vez de $111$.) Uno de estos tiene una órbita que es una línea proyectiva, ya que la rotación de la ilustración típica del plano de Fano es una simetría proyectiva y el círculo (real) en él es una línea proyectiva. (Esta línea proyectiva está compuesta por los ciclos de$110$.) Todos $3$-los ciclos se conjugan en $\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)$(por la teoría de Sylow) por lo que esto se aplica a todos ellos. Si aplicamos un no trivial$7$-ciclo a una línea proyectiva, debemos obtener todos $7$ líneas proyectivas.
Por lo tanto, podemos construir el plano de Fano simplemente usando este grupo metacíclico $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$la acción en $\mathbb{Z}_7$ (Nota $\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ es un subgrupo del holomorfo $\mathrm{Hol}(\mathbb{Z}_7)$, que es el "grupo afín" $\mathrm{Aff}_1(\mathbb{F}_7)$, entonces $\mathbb{Z}_7$ actúa sobre sí mismo con regularidad y $\mathbb{Z}_3$ actúa sobre $\mathbb{Z}_7$por automorfismos grupales). Esto se puede hacer dentro$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ para elaborar un esquema de etiquetado.
El grupo $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ actuando en la línea proyectiva $\mathbb{F}_7\mathbb{P}^1=\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$ por transformaciones de Mobius tiene subgrupo estabilizador $\mathrm{Stab}(\infty)=\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ actuando por funciones afines de $\mathbb{F}_7$ de la forma $f(x)=a^2x+b$ ($a\ne0$) correspondiente a matrices $\pm[\begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1}\end{smallmatrix}]$ en $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$, que es como ser $\mathrm{Aff}_1(\mathbb{F}_7)\cong\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_6$ pero no del todo (también tenga en cuenta $G$ no tiene orden $6$ elemento).
Porque $2^3\equiv1$ modificación $7$, el mapa $x\mapsto 2x$ tiene orden $3$. Una de sus órbitas no triviales es$\{1,2,4\}$, que declararemos ser una línea proyectiva. Debería haber$7$ líneas proyectivas, y el grupo de simetría debería actuar sobre ellas de forma transitiva, por lo que deberíamos obtener todas las nuevas líneas proyectivas en nuestro nuevo modelo traduciendo $\{1,2,4\}$. Basta con traducir la línea proyectiva utilizando el$7$-ciclo $x\mapsto x+1$, una función afín. Por lo tanto, nuestros puntos son$\{1,2,\cdots,7\}$ y nuestras lineas son $\{a+1,a+2,a+4\}$.
[Desde las transformaciones de Mobius (que es cómo $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ actúa sobre $\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$, cuyos elementos representan puntos de la línea proyectiva $\mathbb{P}(\mathbb{F}_7^2)$) preservan la relación cruzada, podemos observar que estas líneas proyectivas (en nuestro nuevo modelo de plano de Fano) son aquellas triples con una relación cruzada especificada. Solo un aparte.]
Esto nos da la siguiente imagen del avión Fano:
Cada triángulo de color es una línea proyectiva. Este es el gráfico completo$K_7$, por lo que no hay bordes "faltantes" u "ocultos" en este modelo, a diferencia del otro modelo. (Los triángulos están orientados para describir una tabla de multiplicar de octoniones).
Podemos eliminar exactamente un borde de cada triángulo para obtener otra imagen, con "bordes ocultos" en las líneas proyectivas, al igual que la imagen original, pero que, no obstante, ilustra el $7$-pliegue de simetría y no tiene puntos o líneas distinguidos:
Algunos pensamientos. (a) Esta construcción solo utilizó el subgrupo metacíclico$\mathrm{Stab}(\infty)=\mathbb{Z}_7\rtimes\mathbb{Z}_3$ de $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$, no todo. Entonces, (b) ciertamente no ilustra por qué$\mathrm{PGL}_3(\mathbb{F}_2)=\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$, y de hecho (c) la acción de $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ de en $\mathbb{F}_7$ no es claro para mí, en particular, ya no es por las transformaciones de Mobius, ya que son transitivas en el $8$-conjunto de elementos $\mathbb{F}_7\cup\{\infty\}$.
El hecho de que $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_7)$ actúa de forma transitiva en conjuntos de ambos tamaños $7$ y $8$ es sorprendentemente idéntico al hecho $\mathrm{Spin}(7)$ actúa irreductiblemente en ambos $\mathbb{R}^7$ (a través de rotaciones) y $\mathbb{R}^8$(a través de octonions). Quizás se pueda encontrar una conexión más profunda al responder "¿cuál es el$\mathbb{F}_1$ versión de octoniones? "