Al menos un subgrupo cíclico bien definido de $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, por prima $p$.

Question

Considere los números enteros de la forma

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

El conjunto correspondiente de clases de residuos $\{[pq + 1]\}$ formar un grupo cíclico de orden $p$ con generador $[p + 1]$.

Ejemplo: si $p = 11$ entonces $12$ genera un subgrupo cíclico de orden $11$ en $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

Tengo una prueba directa de lo anterior usando la teoría de la división (representación) euclidiana, pero estaría interesado en ver otras pruebas (o enlaces / referencias). Además, el enlace de wikipedia

$\quad$ Grupo multiplicativo de números enteros módulo $n$

estados

... aunque incluso para prime $n$ no se conoce una fórmula general para encontrar generadores.

Así que también me interesa cualquier avance parcial realizado en esta área, determinando el orden de los elementos en ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

Answer 1

Aquí 'construimos patrón' el grupo cíclico más grande $K_{2p}$ generado por $[p-1]$ en $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ por $p \ge 5$.

El grupo $K_{2p}$ posee $2p$ elementos.

Colocar $k = p-1$, un número entero par.

Defina una lista de números comenzando en $p-1$ y aumentando en $2p$ mientras te quedas abajo $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

Ahora agregue $p$ a cada número para crear una segunda lista,

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

los $\text{[.]}_{\, p^2}$ residuos del conjunto de números en $G_1 \cup G_2$ son exactamente los $k$ generadores para $K_{2p}$ tener orden $2p$.

Continuando, definiremos otra lista de números comenzando en $p+1$ y aumentando en $2p$
(equivalentemente, agregue $2$ a cada número en $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

Ahora agregue $p$ a cada número para crear una segunda lista,

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

los $\text{[.]}_{\, p^2}$ residuos del conjunto de números en $H_1 \cup H_2$ son exactamente los $k$ elementos en $K_{2p}$ tener orden $p$.

Ya que $2p - 2k = 2$ hay dos elementos que quedan por tener en cuenta en $K_{2p}$. Pero esos son los dos elementos$\{[1],[p^2-1]\}$ satisfactorio $x^2 = 1$.

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Ejemplo: para $p = 11$ especificar el subgrupo adecuado $K_{22}$ de $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$.

Los elementos del orden $22$ consiste en

$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$

Los elementos del orden $11$ consiste en

$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$

Los elementos del orden $2$ consiste en

$\quad [120]$

Los elementos del orden $1$ consiste en

$\quad [1]$