Algoritmo para resolver problemas electromagnéticos usando solo fuerzas
¿Hay algún problema fundamental para resolver problemas electromagnéticos con el siguiente algoritmo? (practicidad aparte)
i) Establecer posición, velocidad, masa y carga para un conjunto de partículas.
ii) Calcule el campo eléctrico en la posición de cada partícula producido por todas las demás partículas con la ley de Coulomb.
iii) Calcule el campo magnético en la posición de cada partícula producido por todas las demás partículas con la ley de Biot-Savart.
iv) Mover todas las partículas una cantidad diferencial usando la segunda Ley de Newton con la Fuerza de Lorentz:
para cada partícula calculo:$m \vec a = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$
v) Vaya al paso ii.
Respuestas
Sí. Al menos dos que puedo ver de improviso:
La ley de Coulomb solo se cumple en electrostática , lo que significa que no se cumple para cargas en movimiento, incluso aquellas que se mueven con una velocidad uniforme entre sí. Esto se debe a que el campo eléctrico para una carga en movimiento ya no es el "habitual"$1/r^2$campo eléctrico como se puede ver en el Capítulo 26 de las Conferencias Feynman (ver Fig. 26-4).
De manera similar, la ley de Biot-Savart solo se aplica a la magnetostática , donde se trata de corrientes constantes . ¡Una carga de un solo punto en movimiento ciertamente no es una corriente constante!
Además, dado que estos campos no son constantes, también debe recordar que los cambios en el campo electromagnético viajan a la velocidad de la luz.$c$. En otras palabras, las cargas no percibirán una fuerza instantánea como la que usted describe, sino una retardada , retardada por un tiempo.$t - r/c$dónde$r$es la distancia entre las cargas.
Ahora, podría hacerlo un poco mejor usando los campos eléctricos y magnéticos exactos de las cargas en movimiento (estos se derivan del capítulo de las Conferencias de Feynman que vinculé arriba), teniendo en cuenta el retardo, y luego use la fórmula:
$$\mathbf{F} = q (\mathbf{E + v \times B}),$$
pero también veo un cuarto problema: las cargas aceleradas irradian energía en forma de ondas electromagnéticas. Esta emisión provoca una fuerza de retroceso en la partícula cargada llamada fuerza de Abraham-Lorentz (o reacción de radiación) . Debería tener esto en cuenta también para una descripción completa. Sin embargo, esto también solo es válido a velocidades que son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz.$c$. Su versión relativista es la fuerza de Abraham-Lorentz-Dirac, creo.
Pero esto suena como un problema muy complicado sin hacer algunas suposiciones primero (tomando el límite no relativista, etc.).
Creo que la primera página de las conferencias de Fenyman, volumen 2, menciona esto cuando trata de motivar por qué usamos campos y no solo fuerzas.
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/
Es un poco escaso pero:https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_01.html
Resulta que las formas en las que las leyes de la electrodinámica son más simples no son lo que cabría esperar. No es más sencillo dar una fórmula para la fuerza que una carga produce sobre otra. Es cierto que cuando las cargas están paradas la ley de fuerza de Coulomb es simple, pero cuando las cargas están en movimiento las relaciones se complican por los retrasos en el tiempo y por los efectos de la aceleración, entre otros. En consecuencia, no deseamos presentar la electrodinámica únicamente a través de las leyes de fuerza entre cargas; nos parece más conveniente considerar otro punto de vista, un punto de vista en el que las leyes de la electrodinámica parecen ser las más fácilmente manejables.
Así que supongo que la respuesta a su pregunta es que su método no tiene en cuenta la velocidad finita a la que se propagan las perturbaciones en los campos magnético y eléctrico entre las cargas.