Anillo Jacobson radical of Polynomial

Question

Definición: Let$M$ frijol $R$módulo. Entonces Jacobson radical de$M$ se denota por $J_R(M)$ y definido como la intersección de todos los submódulos máximos de $M$. Si$M$ no tiene submódulo máximo entonces $J_R(M)=M$.

Dejar $R$ ser un anillo conmutativo y $S=R[x]$sea ​​el anillo polinomial. Sabemos que Jacobson radical de$S$ es $Nil(R)[x]$ cuando $S$ se toma como $S$módulo. es decir$J_S(S)=Nil(R)[x]$.

Mi pregunta: ¿cuál será el radical de Jacobson de$S$ cuando $S$ se toma como $R$¿módulo? es decir$J_R(S)=?$

Por favor, ayúdame. Te estaré muy agradecido.

Answer 1

Primero nota que $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ como $R$-módulo. Además, el radical jacobson conserva sumas directas, por lo tanto$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ ese es el submódulo de polinomios con coeficientes en $J_R(R)$.

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Para demostrar que el radical de Jacobson conmuta con la suma directa de módulos, primero tenga en cuenta que cada $R$-Homomorfismo de módulo $\varphi:M\to N$ mapas $J_R(M)$ dentro $J_R(N)$. Aplicando esto a las proyecciones canónicas$\bigoplus_iM_i\to M_i$ da $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. Del mismo modo, al considerar las inclusiones canónicas$M_i\to\bigoplus_iM_i$ obtenemos la inclusión inversa $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.