¿Aplicar los coeficientes de una fila del triángulo de Pascal a las entradas adyacentes de una fila posterior siempre produce una entrada en el triángulo?
Me preguntaba cómo demostrar que, en general, si tomo cualquier fila del triángulo de Pascal y aplico todos los coeficientes de esa fila a las entradas adyacentes de una fila posterior, obtendrás una entrada en el triángulo de Pascal.
Por ejemplo, se puede demostrar que si aplica los coeficientes $1,2,1$en la segunda fila a cualquier fila posterior, obtiene una entrada en el triángulo de Pascal. Más formalmente,$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} +{n\choose r+2} = {n+2\choose r+2} \tag1$$ De manera similar, mostrar que la aplicación de los coeficientes de la tercera fila a las filas posteriores da como resultado una entrada en el triángulo de Pascal implicaría mostrar que $${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = {n + 3\choose r+3} \tag2$$
Yo se como mostrar $(1)$ usando la definición de elegir: ${n\choose k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!}$y simplemente expandiendo todos los términos y simplificando. Pero si uno mostrara el caso general, ¿quizás se requeriría algún tipo de inducción?
Por ejemplo, tal vez esto sea equivalente a mostrar que $$\sum_{i=0}^j {j\choose i} {n\choose r + i} = {n + j\choose r+j} \tag3$$ para $j\geq 1$. El caso base es solo la identidad de Pascal, y conozco una prueba combinatoria así como una prueba algebraica para ello. Suponga la hipótesis inductiva. Tenemos que demostrar que$$\sum_{i=0}^{j+1} {j+1\choose i}{n\choose r+i}={n+j+1\choose r+j+1} \tag4$$ Sin embargo, no puedo encontrar una buena relación entre este paso y la hipótesis inductiva.
Esto es, en cierto modo, una generalización de la identidad de Pascal.
Respuestas
Si, funciona. A continuación se muestra cómo hacer la inducción, ilustrado ...
$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + {n\choose r+1} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + {n\choose r+2} \right\} = $$
$$ $$ $$ $$
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$${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2}\right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 2{n\choose r+2} + {n\choose r+3}\right\} = $$
$$ $$ $$ $$
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$${n\choose r} + 4{n\choose r+1} + 6{n\choose r+2} + 4{n\choose r+3} + {n\choose r+4}= $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} +{n\choose r+3} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + 3{n\choose r+3} +{n\choose r+4} \right\} = $$