¿Aplicar los coeficientes de una fila del triángulo de Pascal a las entradas adyacentes de una fila posterior siempre produce una entrada en el triángulo?

Aug 18 2020

Me preguntaba cómo demostrar que, en general, si tomo cualquier fila del triángulo de Pascal y aplico todos los coeficientes de esa fila a las entradas adyacentes de una fila posterior, obtendrás una entrada en el triángulo de Pascal.

Por ejemplo, se puede demostrar que si aplica los coeficientes $1,2,1$en la segunda fila a cualquier fila posterior, obtiene una entrada en el triángulo de Pascal. Más formalmente,$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} +{n\choose r+2} = {n+2\choose r+2} \tag1$$ De manera similar, mostrar que la aplicación de los coeficientes de la tercera fila a las filas posteriores da como resultado una entrada en el triángulo de Pascal implicaría mostrar que $${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = {n + 3\choose r+3} \tag2$$

Yo se como mostrar $(1)$ usando la definición de elegir: ${n\choose k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!}$y simplemente expandiendo todos los términos y simplificando. Pero si uno mostrara el caso general, ¿quizás se requeriría algún tipo de inducción?

Por ejemplo, tal vez esto sea equivalente a mostrar que $$\sum_{i=0}^j {j\choose i} {n\choose r + i} = {n + j\choose r+j} \tag3$$ para $j\geq 1$. El caso base es solo la identidad de Pascal, y conozco una prueba combinatoria así como una prueba algebraica para ello. Suponga la hipótesis inductiva. Tenemos que demostrar que$$\sum_{i=0}^{j+1} {j+1\choose i}{n\choose r+i}={n+j+1\choose r+j+1} \tag4$$ Sin embargo, no puedo encontrar una buena relación entre este paso y la hipótesis inductiva.

Esto es, en cierto modo, una generalización de la identidad de Pascal.

Respuestas

WillJagy Aug 18 2020 at 08:18

Si, funciona. A continuación se muestra cómo hacer la inducción, ilustrado ...

$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + {n\choose r+1} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + {n\choose r+2} \right\} = $$

$$ $$ $$ $$

= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =

$${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2}\right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 2{n\choose r+2} + {n\choose r+3}\right\} = $$

$$ $$ $$ $$

= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =

$${n\choose r} + 4{n\choose r+1} + 6{n\choose r+2} + 4{n\choose r+3} + {n\choose r+4}= $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} +{n\choose r+3} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + 3{n\choose r+3} +{n\choose r+4} \right\} = $$