Aproximación a la física utilizando análisis ordinario en lugar de análisis no estándar

Question

Hasta donde yo sé, en física, el cálculo se aborda utilizando análisis no estándar en los que $dx$, $dy$, etc. (infinitesimales) se tratan como cantidades fijas extremadamente pequeñas en lugar del enfoque de análisis estándar que utiliza límites donde se tratan como algo que se aproxima $0$.

Entiendo que el enfoque no estándar es muy intuitivo y fácil de entender. De hecho, había estado haciendo cálculo a través del enfoque no estándar hasta hace unos días cuando me encontré con las cuestiones filosóficas relacionadas con los infinitesimales. Me confundí mucho debido a este enfoque y cuando me acerqué al cálculo usando límites, sentí que había ganado un nivel completamente nuevo de comprensión y claridad conceptual.

Ahora, en física, para una función $f$, $f'(x)$ o $\dfrac{df}{dx}$ se interpreta como la tasa de cambio de $f(x)$ con un cambio muy pequeño en $x$, es decir $dx$. También se interpreta como aproximadamente la pendiente de la tangente a la curva de$f$ a $(x,f(x))$. Este enfoque y la intuición geométrica también se utilizan para derivar el teorema fundamental del cálculo que establece que si$F(a)$ da el área bajo la curva de $f(x)$ desde $x = 0$ a $x = a$, es decir $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ Luego, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ dónde : $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ El enfoque no estándar también se utiliza para derivar ciertas fórmulas como la del trabajo que se deriva de la siguiente manera:

• Por un desplazamiento infinitesimal $dx$, el trabajo infinitesimal realizado es decir $dW$ es $F_2(x)\cdot dx$
• La cantidad total de trabajo realizado, es decir $W$, es $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (Nota: aquí, $F_2(x)$ denota la fuerza experimentada por la partícula en la posición $(x)$. Por ejemplo, si hablamos de fuerza electrostática,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)

Entonces, básicamente, la mayor parte del cálculo utilizado en física se aborda utilizando infinitesimales y análisis no estándar.

Pero el análisis estándar me parece mucho más riguroso y tiene mucho más sentido. He preguntado a algunos amigos que preguntaron a sus profesores cómo se puede utilizar el análisis estándar en física en lugar del análisis no estándar, pero ninguno de los profesores pareció molestarse.

Entonces, me gustaría saber cómo puedo abordar la física a través del análisis estándar.

PD: Actualmente estoy en ^décimo grado y solo he cubierto los conceptos básicos del ^undécimo grado todavía. Se agradecería una respuesta que pueda comprender sin muchos conocimientos sobre matemáticas avanzadas.

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Editar: Estoy muy agradecido por las dos respuestas que ya he recibido. Asumí imprudentemente que el análisis no estándar y el uso heurístico de infinitesimales son uno y el mismo, lo que no es el caso, como lo señalaron los usuarios Qmechanic y PM 2Ring . Me gustaría aclarar que siempre que utilicé el término 'análisis no estándar', en realidad me refería al tratamiento de$dy$, $dx$, etc. como números reales, muy pequeños y de $\dfrac{dy}{dx}$ como una proporción ...

Answer 1

Entonces, básicamente, la mayor parte del Cálculo utilizado en Física se aborda utilizando infinitesimales y análisis no estándar.

Esta premisa es falsa. Si bien los argumentos de la física sobre infinitesimales pueden parecerse a los argumentos típicos en el "análisis no estándar", la física elemental generalmente no opera a niveles de rigor en los que podría decidir claramente si está usando análisis no estándar o no. La física no está interesada en cuestiones fundamentales de análisis y, por ejemplo, la derivada de una función es una aproximación a su pendiente independientemente de la base que esté utilizando (puede ser más o menos trabajo derivar esto dependiendo de su base, pero aún es siempre cierto).

Si busca rigor, a menudo existe una interpretación igualmente válida de los "infinitesimales" físicos en términos de formas diferenciales estándar , por ejemplo$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ es simplemente la definición de una forma 1 llamada $\mathrm{d}W$, cuya integral sobre caminos $\gamma$ se define como el trabajo $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ a lo largo del camino.

Answer 2

No hay diferencia de rigor entre la NSA y el análisis estándar. (En términos de teoría de modelos, son equivalentes). Sin embargo, la mayor parte del cálculo infinitesimal que se ve en los artículos y libros de física tendría que ser reelaborado o elaborado ligeramente para convertirlo en NSA.

Suele ser trivial traducir de un idioma a otro. Los científicos y los ingenieros deben dominar ambos.