Aproximar incrementando números enteros positivos

Question

Dejar$\mathbb{N}$denota el conjunto de enteros positivos. Para$\alpha\in \; ]0,1[\;$, dejar$$\mu(n,\alpha) = \min\big\{|\alpha-\frac{b}{n}|: b\in\mathbb{N}\cup\{0\}\big\}.$$(Tenga en cuenta que podríamos haber escrito$\inf\{\ldots\}$en vez de$\min\{\ldots\}$, pero es fácil ver que el ínfimo es siempre un mínimo.)

Hay un$\alpha\in \; ]0,1[$tal que para todos$n\in\mathbb{N}$tenemos$\mu(n+1,\alpha)<\mu(n,\alpha)$?

Answer 1

No hay tal$\alpha$.

Si$\alpha\in\mathbb Q$, hay$n$tal que$\mu(n,\alpha)=0$, por lo tanto$\mu(n+1,\alpha)<\mu(n,\alpha)$es imposible.

Si$\alpha\notin\mathbb Q$, un resultado clásico en la aproximación diofántica dice que hay infinitas$n$tal que$$\mu(n,\alpha)<\frac1{\sqrt5n^2}.$$si entonces$$\mu(n+1,\alpha)<\mu(n,\alpha),$$dejar$a/n$y$b/(n+1)$ser las respectivas aproximaciones más cercanas de$\alpha$. Tenemos$$\left|\frac an-\frac b{n+1}\right|<\frac2{\sqrt5n^2}<\frac1{n(n+1)},$$mientras$$\left|\frac an-\frac b{n+1}\right|=\frac{|a(n+1)-bn|}{n(n+1)}\ge\frac1{n(n+1)}$$a no ser que$a(n+1)=bn$, es decir, las fracciones que se aproximan son$0$o$1$. Dado que esto sucede para un número infinito de$n$, esto es imposible para$\alpha\in(0,1)$.

Answer 2

No. Si$\alpha$es racional, conjunto$n$al denominador de$\alpha$. De lo contrario establecer$n$al denominador de la tercera convergente a$\alpha$. En ambos casos, obtenemos$\mu(n+1,\alpha)>\mu(n,\alpha)$.

Answer 3

Es fácil probar que$\alpha$no debe ser un número racional.

Ahora deja$\frac{1}{n-1}>\alpha>\frac{1}{n}, n>1$y$\alpha-\frac{1}{n} < \frac{1}{n-1}-\alpha$.

Entonces,$\mu(\alpha, k+1)< \mu(\alpha ,k)$para todos$k=1,2..., n-1$.

Si$\mu(\alpha, n+1)<\mu(\alpha, n)$,

entonces tambien,

1. $\frac{1}{n-1}>\alpha >\frac{b}{n+1} >\frac{1}{n}$para algunos$b \in \mathbb N, b>1$. o,
2. $\frac{1}{n-1}>\frac{b}{n+1} >\alpha >\frac{1}{n} $para algunos$b \in \mathbb N, b>1$(Con$\frac{b}{n+1}+\frac{1}{n}>2\alpha$).

Ambos implican

$1+\frac{2}{n-1}>b>1+\frac{1}{n} \Rightarrow n=2$

Satisfacer$\mu(\alpha, 4)<\mu(\alpha, 3)<\mu(\alpha, 2)<\mu(\alpha, 1)$nosotros necesitamos,$\frac{3}{4}>\alpha>\frac{17}{24}$.

Pero,$\frac{4}{5}>\frac{3}{4}$y$\frac{3}{4}-\frac{17}{24}<\frac{17}{24}-\frac{3}{5}$, por lo tanto,$\mu(\alpha, 5)>\mu(\alpha, 4)$.

Entonces, no puede haber tal$\alpha \in (0,1)$.