Asignación del espacio de coordenadas reales a números hiperreales mientras se conserva el "orden lexicográfico"
Proponiendo una función $f:X^n \rightarrow \mathbb{R}$ dónde $X$ es un conjunto finito de números enteros tal que el orden lexicográfico se conserva es sencillo:
$$f(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i (\max(X))^{n-i}}$$
¿Es posible crear una función similar, pero que asigne un espacio de coordenadas real a números hiperrealistas mientras se conserva el "orden lexicográfico" ($g:\mathbb{R}^n \rightarrow {}^*\mathbb{R}$)? Pregunto por los números hiperreales porque no es posible en el caso de los números reales (Debreu, G. (1954). Representación de un orden de preferencia por una función numérica. Procesos de decisión, 3 , 159-165.) También digo " orden lexicográfico "con comillas porque el orden lexicográfico (según mi entendimiento) técnicamente es un ordenamiento de secuencias de elementos de un conjunto finito , pero no parece descabellado extender el concepto para incluir secuencias de elementos de un conjunto infinito, es decir$$(x_1, x_2, \dots ,x_{n-1}, x_n) \leq(y_1, y_2, \ldots ,y_{n-1}, y_n) \iff (x_1<y_1) \lor ((x_1=y_1) \land ((x_2<y_2) \lor \ldots ))$$
¿Funcionaría algo como lo siguiente?
$$g(x_1, x_2, \ldots ,x_{n-1}, x_n)=\sum_{i=1}^{n}{x_i \omega^{n-i}}$$
Respuestas
Su comprensión es correcta; dados dos conjuntos parcialmente ordenados$(A, <_A)$ y $(B, <_B)$ siempre podemos definir el orden lexicográfico en el producto cartesiano $A \times B$ por $$(a_1, b_1) \leq_{\text{lex}} (a_2, b_2) \iff a_1 <_A a_2 \text{ or } (a_1 = a_2 \text{ and } b_1 <_B b_2);$$ esto se extiende naturalmente a productos finitos e infinitos de conjuntos parcialmente ordenados, aunque en el caso de productos infinitos $\leq_{\text{lex}}$ se comporta de manera ligeramente diferente (es decir, no es un buen orden).
La función $g: \mathbb R^n \to {}^*\mathbb R$que defina de hecho hace el trabajo; aquí están los detalles.
Dejar $\mathcal U$ ser un ultrafiltro no principal en $\mathbb N$, así que eso ${}^* \mathbb R = \mathbb R^{\mathbb N} / \mathcal U$; tenga en cuenta también que desde$\mathcal U$no es principal, contiene el filtro Fréchet , por lo que todos los conjuntos de cofinitos de$\mathbb N$ estan en $\mathcal U$. A lo largo, si$(a_n) \in \mathbb R^{\mathbb N}$ denotamos su clase de equivalencia en ${}^* \mathbb R$ por $[(a_n)]$. Además, recuerde que un número estándar$r$ en ${}^*\mathbb R$ viene dada por la clase de equivalencia de la secuencia constante $(r, r, r, \dots)$, y que si $[(a_n)], [(b_n)] \in {}^*\mathbb R$, luego $$[(a_n)] < [(b_n)] \iff \{n \in \mathbb N: a_n < b_n \} \in \mathcal U. \tag {$\daga$}$$
Demostramos ahora que para todos $n \in \mathbb N$ Si $(x_1,x_2, \dots, x_n) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_n)$ en $\mathbb R^n$, luego $g(x_1, x_2, \dots, x_n) \leq g(y_1, y_2, \dots, y_n)$ en ${}^*\mathbb R$. Hacemos esto mediante una fuerte inducción en$n$; el caso$n=1$ es trivial, asuma que hay $ k \in \mathbb N^{>1}$ tal que el resultado sea válido para todos $n \leq k$ y supongamos que $(x_1, x_2 \dots, x_{k}, x_{k+1}) \leq_{\text{lex}} (y_1, y_2, \dots, y_k, y_{k+1})$. Tenemos dos casos principales:
- $\underline{x_1 < y_1}$. Te lo mostraremos para todos$x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$, tenemos eso $$x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}. \tag{$\estrella$}$$ No asuma por contradicción, para que exista $x_2, x_3, \dots, x_k, x_{k+1}, y_2, y_3, \dots, y_k, y_{k+1} \in \mathbb R$ tal que $$y_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} < x_1\omega^k + \sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ast$}$$ Ya que $\omega = [(1,2,3, \dots)] = [(n)]$, por $(\dagger)$ tenemos eso $(\ast)$ es equivalente a la afirmación de que el conjunto \begin{align} S &= \Bigg\{ n \in \mathbb N : y_1n^k + y_2n^{k-1} + \dots + y_{k+1}n^0 < x_1n^k + x_2n^{k-1} + \dots + x_{k+1}n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1-x_1)n^k < (x_2-y_2)n^{k-1} + \dots + (x_{k+1} -y_{k+1} )n^0 \Bigg\} \\ &= \Bigg\{ n \in \mathbb N: (y_1 -x_1)n^k < \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}\Bigg\}\end{align} está en nuestro ultrafiltro $\mathcal U$. Por otro lado, tenga en cuenta que desde$x_1 < y_1$, tenemos eso $0 < (y_1 -x_1) n^k$ para todos $n \in \mathbb N$, así que eso $(y_1 -x_1)n^k$ en una función estrictamente creciente en $n$. En particular, existe$N \in \mathbb N$ tal que para todos $n \geq N$ tenemos $(y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=2}^{k+1}(x_i-y_i)n^{k+1-i}$; por lo tanto, el conjunto$$S' = \Bigg\{n\in \mathbb N : (y_1-x_1)n^k \geq \sum_{i=1}^{k+1}(x_i-y_1)n^{k+1-i}\Bigg\} $$ es cofinita, entonces $S' \in \mathcal U$. Sin embargo, tenga en cuenta que$S' = S \backslash \mathbb N$, entonces tenemos eso $S \in \mathcal U$ y $S \backslash \mathbb N \in \mathcal U$, contradiciendo el hecho de que $\mathcal U$es un ultrafiltro; por lo tanto, nuestra suposición es falsa y$(\star)$ sigue, según sea necesario.
- $\underline{x_1 = y_1 \text{ and } x_2 < y_2}$. Ya que$x_1 = y_1$, mostrando que $$x_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq y_1\omega^k +\sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i} $$ simplifica para mostrar que $$\sum_{i=2}^{k+1}x_i\omega^{k+1-i} \leq \sum_{i=2}^{k+1}y_i\omega^{k+1-i}.\tag{$\ ddagger$}$$ Definir ahora $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) = (x_2, x_3, \dots, x_{k+1})$ y $(y'_1, y'_2, \dots, y'_{k}) = (y_2, y_3, \dots, y_{k+1})$. Ya que$x_2 < y_2$, tenemos eso $x'_1 <y'_1$, entonces $(x'_1, x'_2, \dots, x'_k) \leq_{\text{lex}} (y'_1, y'_2, \dots, y'_{k})$ por definición de $\leq_{\text{lex}}$, y además $(\ddagger)$ se convierte en $$\sum_{i=1}^{k}x'_i\omega^{k-i} \leq \sum_{i=1}^{k}y'_i\omega^{k-i};\tag{$\ estrella \ estrella$}$$ por nuestra hipótesis inductiva, $(\star\star)$ tiene, por lo tanto, también $(\ddagger)$ y terminamos.
Los otros casos (digamos $x_1 = y_1$, $x_2= y_2$ y $x_3 < y_3$) siguen el mismo argumento que en el punto anterior utilizando el supuesto de inducción fuerte.