Autovalores y espacio nulo

Question

Me gustaría comprender mejor las relaciones entre el espacio nulo y los valores propios de una matriz.

En primer lugar, sabemos que un $n \times n$ matriz tendrá $n$ valores propios, aunque los valores propios pueden ser complejos y repetidos.

A continuación, sabemos que si $A$ tiene el valor propio 0, entonces el vector propio correspondiente está en el espacio nulo $N(A)$, ya que $A\textbf{x}=0\textbf{x}=\textbf{0}$. Esto implica que todos los autovectores que corresponden al autovalor 0 abarcan exactamente$N(A)$.

Utilizando las dos conclusiones mencionadas anteriormente, y suponiendo que tenemos una $n \times n$ matriz con rango $r$, ahora sabemos que la dimensión del espacio nulo es $n-r$. De esto, podemos concluir que habrá al menos $n-r$valores propios que son iguales a 0? y exacto $n-r$ vectores propios independientes para abarcar el espacio nulo?

Answer 1

Si $A$ tiene rango completo, entonces la dimensión del espacio nulo es exactamente $0$.

Ahora si $A_{n×n}$ tiene rango $r\lt n $, luego la dimensión del espacio nulo $=(n-r)$. Esta$(n-r)$será la multiplicidad geométrica del valor propio$0$.

Pero sabemos que, multiplicidad algebraica $\ge$ multiplicidad geométrica .

Entonces, multiplicidad algebraica de valor propio $0$ debería ser al menos $(n-r)$. Esto significa que habrá al menos$(n-r)$ numeros de $0$'s, como los valores propios de $A$.

Y, dado que la multiplicidad geométrica de un valor propio $=$ el número de autovectores linealmente independientes correspondientes a ese autovalor, podemos concluir que hay exactamente $(n-r)$ números de autovectores linealmente independientes correspondientes al autovalor $0$.

Answer 2

Dada una matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$:

• Un vector $x$ es un vector propio de $A$ Si $Ax = \lambda x$ dónde $\lambda$ es el valor propio.

• El kernel (espacio nulo) de $A$ es el set $\{v | Av=0\}$, es decir, todos $v$ que tienen un valor propio $0$.

• El eigenspace, $E_{\lambda}$, es el espacio nulo de $A-\lambda I$, es decir, $\{v | (A-\lambda I)v = 0\}$. Tenga en cuenta que el espacio nulo es solo$E_{0}$.

• La multiplicidad geométrica de un valor propio $\lambda$ es la dimensión de $E_{\lambda}$, (también el número de autovectores independientes con autovalor $\lambda$ ese lapso $E_{\lambda}$)

• La multiplicidad algebraica de un valor propio $\lambda$ es la cantidad de veces $\lambda$ aparece como una raíz para $det(A-x I)$.

• multiplicidad algebraica $\geq $ multiplicidad geométrica.

Considere el siguiente ejemplo, $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

Luego $n = 2$ y el rango de $rank(A) = 1$. los$det(A-x I) = x^{2}$ y las raíces son $x = \{0,0\}$. Vemos que el valor propio$0$ tiene multiplicidad algebraica $2$. Pero, la multiplicidad geométrica es la dimensión de$E_{0} = span\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right)$ cual es $1$. Entonces en este ejemplo vemos que$n-r = 1$, que es igual a la multiplicidad geométrica de $\lambda = 0$.

Por tanto, concluimos que $\lambda = 0$ tendrá una multiplicidad algebraica de al menos $n−r$ y una multiplicidad geométrica de $n−r$. Esto es obvio a partir de la definición de rango y multiplicidad geométrica.