Averiguar $n$ y $d$ así que eso $U_d(n)$ se le dará conjunto.
Esta es una publicación relacionada de alguna manera con esta que publiqué anteriormente . En esta publicación, el problema se resuelve tan bien, sin embargo, no puedo utilizar la misma idea en esta situación actual.
Suponer $n$ es un número entero positivo y $d$es su divisor positivo. Si$U(n)$ ser la colección de todos los enteros positivos menores o iguales a $n$ y coprime a $n$ y $$U_d(n)=\{x\in \mathbb{N}: x\equiv 1\pmod{d}\}$$ como encontrar $n,d$ tal que $$U_d(n)=\{1,13,25,37\}$$ sostendría?
Claramente aquí $d$ es divisor del mcd de $1-1,13-1,25-1,37-1$ es decir $12$. Entonces$d=1,2,3,4,6,12$. Como mostrar$d$ es $12$¿solamente? En el problema anterior solo había dos valores 1 y 7. Sin embargo, aquí también obtenemos el divisor compuesto.
Una vez que mostramos eso, cómo encontrar $n$ ¿luego?
Básicamente lo que estoy buscando es un enfoque general, si lo hay. ¿Alguien puede ayudarme con esto, por favor?
Trabajo posterior
Después de recibir sugerencias y sugerencias (gracias a Erik Wong y cgss), estoy tratando de resolver este problema tanto como puedo.
Por la respuesta de Erik, ahora entiendo por qué $d=12$solamente. Por lo tanto$U_d(n)$ se convierte en ahora $U_{12}(n)$. Además,$12$ debe dividir $n$ y $n>37$ y cada miembro de $U_{12}(n)$ debe ser de la forma $12k+1$. sin embargo$25\in U_{12}(n)$ lo que significa $25\in U(n)$ y entonces $(25,n)=1$ Insinuando $(5,n)=1$. Así$n$ debe ser 5 gratis.
Consideramos entonces, $$n=2^{a_1}3^{a_2}.m$$ dónde $a_1\geqslant 2, a_2\geqslant 1, m\in \mathbb{N}$ con $(2.3.5, m)=1$. Luego$$U_{12}(n)\simeq U\left(\frac{n}{12}\right)=U(2^{a_1-2}3^{a_2-1}m)$$ si $(12, \frac{n}{12})=1$. Esto sugiere que$a_1-2=0, a_2-1=0$ es decir $a_1=2, a_2=1$ así que eso $n$ reduce a $n=2^2 3^1 m$.
Por lo tanto \begin{align*} &|U_{12}(n)|=|U(2^0 3^0 m)|\\ \Rightarrow &4=\varphi(m) \end{align*}
[Las respuestas reales son $n=48, d=12$. Lo que significa que ahora tenemos que mostrar$m=1$en la ecuación anterior. La solucion de$\varphi(m)=4$ son $m\in \{5,8,10,12\}$ Pero, ¿cómo podemos mostrar aquí? $m=1$?]
Respuestas
Publiqué una respuesta mucho más larga sin la suposición de que $d \mid n$, que admite un buen número de soluciones. Explotar esta restricción nos da una cantidad significativa de estructura, a saber, que$U_d(n)$ es un subgrupo del grupo de unidades $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$.
Ya que $U_d(n)$ tiene 4 elementos, cada elemento tiene orden dividiendo $4$. Por lo tanto$n$ debe dividir ambos $13^4 - 1$ y $25^4 - 1$, cuyo mcd es 48. Dado que $n \ge 37$, debe ser exactamente $48$. Concluimos fácilmente que$d=12$ una vez que sepamos $n$.
Primero intentaremos descartar valores más pequeños de $d$. Cada uno cae en una de las dos categorías$d \mid 4$ y $d \mid 6$ (estos dos casos corresponden a los dos factores primos de $12$).
Suponer $d \mid 4$: entonces el hecho de que $U_d(n)$ no contiene $5$ debe ser porque $n$ es divisible por $5$, pero luego esto contradice $25 \in U_d(n)$.
Suponer $d \mid 6$: entonces el hecho de que $U_d(n)$ no contiene $7, 19, 31$ debe ser porque $n$es divisible por todos esos números primos. Pero entonces$n > 169 = 13^2$, así que para evitar $U_d(n)$ conteniendo $169$ nosotros necesitamos $n$ ser divisible por $13$, contradiciendo $13 \in U_d(n)$.
Ahora que estamos seguros $d=12$, hay una serie de opciones válidas de $n$, y una cierta cantidad de verificación de casos es inevitable. En primer lugar, en la gama$37 \le n < 49$, todos los valores de $n$ debería funcionar excepto para aquellos divisibles por primos excluyentes $5,13,37$.
Una vez que comprobamos los valores de $n \ge 49$, solo necesitamos considerar $7 \mid n$. Hasta$n < 61$, esto también es suficiente para excluir el único $12k+1$ número $49$ que causa problemas.
Después $n \ge 61$, nosotros necesitamos $7 \cdot 61 \mid n$. Pero esto fuerza$n \ge 169$, y como arriba sabemos que esto es imposible porque $13 \in U_d(n)$.
El principio general en ambas partes de este argumento (aislar $d$ y entonces $n$) es que las exclusiones debidas a la no coprimalidad tienden a generar límites inferiores cada vez mayores para $n$, y eventualmente forzar $[1,n]$ para contener un número compuesto solo por números primos de los que sabemos algo.