Ayuda con una prueba de una consecuencia de los axiomas de suma y multiplicación.
Mientras leía el Análisis 1 de Vladimir A. Zorich, encontré esta prueba que tiene este 1 paso que no puedo entender. Aquí está la consecuencia y la prueba:
Para cada $x\in \mathbb R$ lo siguiente es cierto
$$-x=(-1)\cdot x$$
Prueba. $\ \ x+(-1)\cdot x=\underbrace{(1+(-1))\cdot x}_\text{Which of the axioms were used here ?}= 0 \cdot x=x \cdot 0 = 0$. La suposición se deriva de la unicidad del negativo de un número.
Fin de la prueba.
La parte sin refuerzos es lo que no entiendo. ¿Qué axiomas de suma y multiplicación se usaron para hacer esa expresión?
Respuestas
Tenga en cuenta que $1\in\Bbb{R}$ es un elemento especial del conjunto con la propiedad de que para cada $x\in \Bbb{R}$, $1\cdot x = x\cdot 1 = x$. A continuación, también usamos la ley distributiva de que para todos$a,b,c\in\Bbb{R}$, $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$. Por lo tanto, \ begin {align} x + (-1) \ cdot x & = 1 \ cdot x + (-1) \ cdot x \ tag {propiedad de$1$} \\ & = [1 + (-1)] \ cdot x \ tag {ley distributiva} \ end {align} El resto de la demostración sigue una vez que estableces que para cada$x\in\Bbb{R}$, $0\cdot x = 0$.
el principal es la distribución: $a(b+c) = ab + ac$.
Entonces la prueba es la siguiente:
$x + (-1)x = 1\cdot x + (-1)\cdot x$ (por existencia y definición de identidad multiplicativa)
$=(1+(-1))\cdot x$ (por distribución)
$=0\cdot x$ (por definición de aditivo inverso)
$=x\cdot 0$ (comutividad de la multiplicación pero no tengo idea de por qué hizo esto)
$= 0$(Esto no es un axioma pero se puede probar una proposición de que$0\cdot x = 0$. ¿Ya lo ha probado? ¿Spivak usa eso como axioma?)
Entonces, por definición, tenemos eso para cada $x$ existe un único $-(x)$ así que eso $x + (-x) = 0$.
Si alguna vez tenemos un $a$ así que eso $x + a = 0$ debe ser eso $a=-x$ya que el inverso multiplicativo es único. Como$x + (-1)x =0$ debe ser $(-1)x = -x$.
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Apuntalar: $x\cdot 0 = 0$.
Pf: $x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$. (Cada elemento$a$, incluyendo $x\cdot 0$, tiene un aditivo inverso, $-a$, así que eso $a + (-a) =0$.)
$x\cdot(0 + 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ ($0=0+0$ porque $0$ es la identidad aditiva y $a +0 = a$ para todos $a$, incluso cuando $a$ es $0$.)
$(x\cdot 0 + x\cdot 0) + (-(x\cdot 0)) = 0$ (distributividad)
$x\cdot 0 + (x\cdot 0 + (-(x\cdot 0)) = 0$ (asociatividad)
$x\cdot 0 + 0 = 0$ (definición de identidad aditiva)
$x\cdot 0 = 0 $ ($a + 0= a$ para todos $a$ por definición de identidad aditiva.)